专题30第6章四边形之构造平行四边形备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

30第6章四边形之构造平行四边形一、单选题1．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线24AC，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD∴DE//BG，BD//EG在四边形BDEG中，∵DE//BG，BD//EG∴四边形BDEG是平行四边形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B．【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为()s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（）A．2B．3C．6D．2或6【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．3．如图，在ABCD中，BDAD，2ADBD，点E、F分别是边AD及DB延长线上的动点，且AEBF，连接EF，交AB于点G，过点E作EHAB交AB于点H，设AEx，GHy，则下列能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点E作//EMBD交AB于点M，证明ABD与AME均为等腰直角三角形，得到EAEM，MEBF，从而证明EGMFGB，得到12MGBGMB，12HAHMAM，根据111222yHMMGAMMBABGH，再利用ABD中，90ADB，2ADBD，求出222222AB，得到12022yABx，故函数图象是平行于x轴的直线的一部分，即可判断.【详解】∵BDAD，ADBD，∴ABD为等腰直角三角形，∴90BDA，45BADABD，如解图，过点E作//EMBD交AB于点M，∴90MEAADB，∴AME为等腰直角三角形，∴EAEM，∵AEBF，∴MEBF，∵//MEBD，∴EMGFBG，∵MGEBGF，∴EGMFGBAAS，∴12MGBGMB，在等腰RtAEM中，EAEM，EHAM，∴12HAHMAM，∴111222yHMMGAMMBABGH，在ABD中，90ADB，2ADBD，∴222222AB，∴12022yABx，∴其图象是平行于x轴的直线的一部分，故选C.【点评】此题主要考查函数图像与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的运用.二、填空题4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】8【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，同理△ADE的面积和△AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是12×CF×hCF，∵△ABC的面积是24，BC＝3CF∴12BC×hBC＝12×3CF×hCF＝24，∴CF×hCF＝16，∴阴影部分的面积是12×16＝8，故答案为：8．【点评】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键．5．如图，在梯形ABCD中，ABCDADBC，∥，对角线ACBD，且52AC，则梯形ABCD的中位线的长为_________.【答案】5【解析】【详解】解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，∵AB∥CD，CE∥BD，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE=BD，BE=CD∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC∵AC⊥BD，CE∥BD，∴CE⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC=52，∴AE=2AC=10，∴AB+CD=AB+BE=10，∴梯形的中位线=12AE=5，故答案为：5．【点评】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．三、解答题6．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE为矩形；（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；（3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD＝CD＝BD，又∵四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．【点评】本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．7．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32【分析】（1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论．【详解】（1）∠DEF=∠B，理由如下：延长EF交BC于G，∵∠BDC=∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED=∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF=∠B；（2）∵F是CD边上的中点，S△DEF=4，∴S△DEC=2S△DEF=8，∵E是AC边上的中点，∴S△ADC=2S△DEC=16，∵D是AB边上的中点，∴S△ABC=2S△ACD=32．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．8．已知，菱形ABCD中，60B，E、P分别是边BC和CD上的点，且60EAP．（1）求证：BCECCP（2）如图2，F在CA延长线上，且FEFB，求证：AFEC（3）如图3，在（2）的条件下，6AF，10BE，O是FB的中点，求OA的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可证明△AEB≌△AFC，即可解答；（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得12OAAK，FK=16，过点A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=132AF,333AMMF，从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）连接AC，如图1，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，∴∠BAE=∠CAP，在△AEB和△APC中，BAECAPABACBACD，∴△AEB≌△APC，∴BE=CF∴BCECBEECCP；（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等边三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等边三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中FBHFECFHBFCEFHFC∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，∵BK∥FC，FH∥AB∴四边形KBAF是平行四边形∴KB=AF=EC=6，12OAAK∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16过点A作AM⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°∴MF=132AF,333AMMF∴KM=16-3=13在Rt△AKM中，2222(33)1314AKAMMK∴AO=7．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．9．如图，反比例函数y＝kx（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，（1）求反比例函数和直线A