专题41第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值备战2021中考数学解题方法系统训练

41第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值一、单选题1．如图，//ABCD，BE和CE分别平分ABC和BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若8AD＝，则PE的最小值为()A．8B．6C．5D．4【答案】D【分析】根据平行线定理判定ADCD，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．【解答】//ABCDADAB，，ADCD，根据垂线段最短的原则，得，当PEBC时,PE取最小值，如图，BE和CE分别平分ABC和BCDPEAEPEDE，，8AD142PEAEDEAD故选：D．【点评】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（）A．1B．12C．13D．14【答案】B【分析】根据正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，推出CD是△ABE的中位线，根据正方体的边长为2，B为一条棱的中点，得出EB=1，即可得出CD．【解答】解：画出展开图如下，由正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，∴CD是△ABE的中位线，∴CD=12EB，∵正方体的边长为2，B为一条棱的中点，∴EB=1，∴CD=12，故选：B．【点评】本题考查了中位线的性质，正方体的性质，得出CD是△ABE的中位线是解题关键．3．如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（）A．10B．8C．6D．5【答案】B【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE．【解答】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示：则BE＝12AB＝3，∵∠MON＝90°，∴OE＝12AB＝3．在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝2234＝5．在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC，∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．4．点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．22＋1B．22＋2C．42＋1D．42-2【答案】A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，点C为坐标平面内一点，2BC，C在B上，且半径为2，取4ODOA==，连接CD，AMCM，ODOA，OM是ACD的中位线，12OMCD\=，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，4OBOD==Q，90BOD，42BD，422CD\=+，()1142222122OMCD\==+=+，即OM的最大值为221；故选：A．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．5．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（）A．32B．2-1C．0．5D．512【答案】B【分析】分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小．【解答】解：如图所示，连接AC∵正方形边长为1∴AC=2当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小∴AE=AC-CE=2-1故选：B二、填空题6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(,5)mm，当AB的长最小时，m的值为________．【答案】3【分析】由勾股定理建立2AB关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质可得答案．【解答】解：如图，过B作BCOA于,C则|5|,|1|,BCmACm由勾股定理得：2222(1)(5)21226,ABmmmm20,a＞当123,22m2AB有最小值223123268,AB的最小值是822.故答案为3．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握以上的知识是解题的关键．7．如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_____．【答案】23．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN＝12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝43，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN＝12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD＝33AC＝23，AD＝2CD＝43，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为43，MN的最大值为23．故答案为：23．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．【答案】10【分析】根据正方形对角线的性质：AC上的点到点B、D的距离相等，连接DE交AC于点P即可．【解答】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE＝22ADAE＝2286＝10．∴PB+PE的最小值为10．故答案为10．【点评】本题考查了正方形的性质，涉及了线段和的最小值问题，依据两点之间线段最短确定动点P的位置是解题的关键.9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=33，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_________．【答案】5【解答】解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=4，∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，∴ME=12DM=1，DE=3，∴CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，∴CM=7；由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C=7-2=5，故答案为5．10．已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为____．【答案】222【分析】连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HC，OP．首先证明∠OAP∽△HAG，推出22OPOAHGAH，由OP=2，可得HG=22，由OG≤OH+HG，推出OG≤2+22，由此即可解决问题；【解答】解：连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HG，OP．∵OA=OH，∠AOH=90°，∴AH=2OA，∴AP=PG，∠APG=90°，∴AG=2AP，∴22OAAPAHAG，∵∠OAH=∠PAG=45°，∴∠OAP∽△HAG，∴22OPOAHGAH．∵OP=2，∴HG=22．∵OG≤OH+HG，∴OG≤2+22，∴OG的最大值为2+22．故答案为：2+22．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题11．如图，在ABC中，21AC，13BC，点D是AC边，上一点，12BD，16AD．（1）求证：BDAC；（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．【答案】（1）见解析；（2）线段DE的最小值为485【分析】（1）在BCD中用勾股定理的逆定理证明90BDC；（2）当DEAB时，DE最短，先用勾股定理求出AB长，再用面积法求出DE的长．【解答】（1）证明：∵21AC，16AD，∴21165CDACAD，∵221253169BDCD，2213169BC，∴222BDCDBC，∴90BDC，即BDAC；（2）解：当DEAB时，DE最短，BDAC，∴90ADB，∴在RtADB中，2222161220ABADBD，∵1122ADDBABDE，∴161248205DE，∴线段DE的最小值为485．【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握这两个性质定理进行求解．12．已知△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足|a﹣13|+2b+（c﹣3）2＝0．如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：四边形AMPN是矩形；（2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）存在，136．【分析】(1)根据“矩形的定义”证明结论；(2)连结AP．当AP⊥BC时，AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求MN的值．【解答】解：(1)证明：∵|a﹣13|+2b+（c﹣3）2＝0，∴a＝13，b＝2，c＝3，∵b2+c2＝22+32＝13＝a2，∴∠BAC＝90°，∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∴∴∠AMP＝∠ANP＝90°，∴∠BAC＝∠AMP＝∠ANP＝90°，∴四边形AMPN是矩形；(2)存在．理由如下：连结AP．∵四边形AMPN是矩形，∴MN＝AP．∵当AP⊥BC时，AP最短．∴2×3＝13•AP．∴AP＝136，∴MN的长度的最小值136．【点评】本题主要考查的是矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等和面积法是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最大值．【答案】（1）AE＝2CD；理由见解析；（2）CD的长为14﹣2或14+2；（3）FM的最大值为32．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到AB＝2BC＝42，根据勾股定理得到AF＝22ABBF＝324＝27，接下来分两种情形：如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝2BF＝22，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：（1）结论：AE＝2CD．理由：∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∵四边形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴ABBC＝2，BEBD＝2，∴ABBE