九年级数学下册第27章圆专题课堂七圆中常见的辅助线归类作业课件新版华东师大版

第27章圆专题课堂(七)圆中常见的辅助线归类类型一、遇弦加弦心距或半径【例1】如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6B．62C．8D．82分析：作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.连结OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．B[对应训练]1．(湘西州中考)如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为()A．10B．8C．43D．45D2．(衢州中考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连结BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是()A．3cmB．6cmC．2.5cmD．5cmD3．(2020·湖州)如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是____．3类型二、遇直径添加直径所对的圆周角【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则∠BDC＝____度．分析：连结AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，最后利用圆周角定理确定答案即可．30[对应训练]4．(2020·营口)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连结CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是()A．110°B．130°C．140°D．160°B5．(2020·深圳)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连结BC并延长，交AD的延长线于点E.(1)求证：AE＝AB；(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．(1)证明：连结AC，OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB(2)解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝102－62＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD·AE＝12AC·CE，∴CD＝6×810＝2456．(2020·毕节)如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连结AF.(1)求证：直线CD是⊙O切线；(2)若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．(1)证明：连结OF，BE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠ACD，∴BE∥CD，∵点F是弧BE的中点，∴OF⊥BE，∴OF⊥CD，∵OF为半径，∴直线CD是⊙O的切线(2)解：∵∠C＝∠OFD＝90°，∴AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴OFAC＝ODAD，∵BD＝2，OF＝OB＝4，∴OD＝6，AD＝10，∴AC＝OF×ADOD＝4×106＝203，∴CD＝AD2－AC2＝102－（203）2＝1053，∵AC∥OF，OA＝4，∴CFOA＝CDAD，即CF4＝105310，解得：CF＝453，∴tan∠AFC＝ACCF＝203453＝5类型三、遇切线连结圆心和切点【例3】如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．分析：(1)连结OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．(2)过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．解：(1)证明：连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线(2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝AO2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4[对应训练]7．(2020·张家界)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．(1)证明：连结OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A＋∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线(2)解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＋∠ADE＝∠BCD＋∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝CE2＋CF2＝228．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是BD的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．解：(1)连结OE，交BD于H，∵点E是BD的中点，OE是半径，∴OE⊥BD，BH＝DH，∵EF∥BC，∴OE⊥EF，又∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线(2)∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，∴BC＝OB2＋OC2＝9＋25＝34，∵S△OBC＝12×OB×OC＝12×BC×OH，∴OH＝3×534＝153434，∵cos∠OBC＝OBBC＝BHOB，∴334＝BH3，∴BH＝93434，∴BD＝2BH＝93417，∵CG∥OD，∴ODCG＝BDBC，∴3CG＝9341734，∴CG＝1739．(2020·青海)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连结CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．(1)证明：连结OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∵AD∥CO，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD.∴∠COD＝∠COB.∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC.∴∠ODC＝∠OBC.∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.又∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD为圆O的切线(2)解：连结BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，BD＝AB2－AD2＝122－42＝82，∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，∴△ADB∽△OBC.∴ADOB＝DBBC，即46＝82BC.∴BC＝122