九年级数学下册第27章圆检测题新版华东师大版

1第27章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2020·荆门)如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为(D)A．14°B．28°C．42°D．56°第1题图第3题图第4题图第5题图第6题图2．已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离d＝2sin30°＋9＋|－2|，则直线l与圆的位置关系是(C)A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．(2020·眉山)如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为(C)A．55°B．60°C．65°D．70°4．(2020·徐州)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于(B)A．75°B．70°C．65°D．60°5．(2020·聊城)如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为(C)A．14mB．34mC．154mD．32m6．(2020·宁夏)如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(A)A．1－π4B．π－14C．2－π4D．1＋π47．(2020·永州)如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是(C)A．1B．2C．3D．42第7题图第8题图第9题图第10题图8．(2020·随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(C)A．h＝R＋rB．R＝2rC．r＝34aD．R＝33a9．(2020·武汉)如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(D)A．523B．33C．32D．4210．(泸州中考)如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是(D)A.31010B．3105C．355D．655二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2020·宜宾)如图，A，B，C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝__32__．第11题图第14题图第15题图12．(2020·宿迁)用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__1__．13．(2020·青海)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为__1或7__cm.14．(2020·黄石)匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos，1913－1996)曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A，B，C，D，O构成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则∠ADO的度数是__18°__．15．(2020·鄂州)如图，已知直线y＝－3x＋4与x，y轴交于A，B两点，⊙O的半3径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为__23__．三、解答题(共75分)16．(8分)(2020·嘉兴)已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC＝BC.小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC.小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．解：证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC17．(9分)(2020·山西)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．解：连接OB，∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB，∵四边形ABCO为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E＝12∠AOB＝22.5°18．(9分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求⊙O的直径AB的长度．4(1)证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2＋AE2，∴△AME是直角三角形，∴∠AEM＝90°，又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线(2)解：连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE－OA＝4－r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2＋OE2，∴r2＝32＋(4－r)2，解得：r＝258，∴AB＝2r＝25419．(9分)(2020·武汉)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD＝DE，求sin∠BAC的值．(1)证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE(2)解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠2＋∠ABD＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∵sin∠1＝DEAD，sin∠3＝DCBC，而DE＝DC，∴AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：(x＋y)，整理得x2＋xy－y2＝0，解得x＝－1＋52y或x＝－1－52y(舍去)，∴sin∠3＝DCBC＝5－12，即sin∠BAC的值为5－1220．(9分)(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，________________________．求证：________________________．5解：已知：AB＝OB，EN切半圆O于F.求证：EB，EO把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE(S.A.S.)，∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO把∠MEN三等分21．(10分)(2020·随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N.(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为5，sinB＝35，求ED的长．(1)证明：连接OM，如图1，∵OC＝OD，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝12AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM为半径，∴MN是⊙O的切线(2)解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由(1)知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sinB＝35，∴cosB＝45，在Rt△BMD中，BM＝BD·cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC·cosB＝325，∴ED＝BE－BD＝325－5＝7522．(10分)(2020·包头)如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝34，5BF－5AD＝4.(1)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．6解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OA，∵OC⊥AB，∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH＝OA＝3，AE＝OH，∵CH＝EC2－EH2＝（34）2－32＝5，∴AE＝OH＝CH－CO＝5－3＝2(2)∵AE∥OC，∴AEOC＝ADDO＝23，∴AD＝25OA＝65，∵5BF－5AD＝4，∴BF＝2，∴OF＝OB－BF＝1，AF＝AO＋OF＝4，CF＝OC2＋OF2＝32＋12＝10，∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，∴△AFC∽△GFB，∴AFFG＝CFBF，∴4FG＝102，∴FG＝4105，∴CG＝FG＋CF＝9105，∵CT是直径，∴∠CGT＝90°，∴GT＝TC2－CG2＝62－（9105）2＝3105，∴cos∠CTG＝TGTC＝31056＝1010，∵∠CAG＝∠CTG，∴cos∠CAG＝101023．(11分)(成都中考)如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.(1)求证：AC＝CD；(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．题图答图解：(1)∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴AC＝CD(2)如图，连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4，∵AC＝CD，∴∠CAD7＝∠ABC，且∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴ACCE＝CBAC，∴AC2＝CB·CE＝4×1，∴AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝25，∴⊙O的半径为5(3)如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°，∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA，∴△APC∽△CPB，∴PAPC＝PCPB＝ACBC＝24＝12，∴PC＝2PA，PC2＝PA·PB，∴4PA2＝PA×(PA＋25)，∴PA＝253，∴PO＝553，∵PQ∥BC，∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°，∴△PHO∽△BCA，∴ACOH＝BCPH＝ABPO，即2OH＝4PH＝25553，∴PH＝103，OH＝53，∴HQ＝OQ2－OH2＝253，∴PQ＝PH＋HQ＝10＋253