2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章61611向量的概念

第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念学习目标核心素养1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义．2．掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置．(重点)3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系．(重点、难点)1.通过向量相关概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助向量的表示及应用，培养直观想象的核心素养.情境导学探新知我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A.问题1：物体A受到哪些力的作用？[提示]重力和桌面对物体A的支持力．问题2：物体A受到的力应怎样表示？[提示]可用有向线段表示．1．向量及其几何表示(1)向量的定义一般地，像位移这样既有_____又有_____的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的___(或长度)；只有大小的量称为标量，如长度、面积等．大小方向模(2)向量的表示①有向线段：具有方向的线段．②向量可以用_________表示，向量AB→的大小，也就是向量AB→的_____，记作_____，向量也可以用加粗的斜体小写字母a，b，c，…表示，书写时，写为a→，b→，c→，…也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB→，CD→.③___________的有向线段表示同一向量，或相等的向量．有向线段长度|AB→|同向且等长[拓展]有向线段与向量有什么区别和联系？区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段2．向量的有关概念(1)零向量与非零向量始点和终点相同的向量称为零向量．印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，可写为0→.模不为0的向量称为非零向量．(2)单位向量模等于__的向量称为单位向量，如果e为单位向量，则|e|＝1.1(3)相等的向量一般地，把大小_____、方向_____的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b.(4)平行向量(共线向量)如果两个_____向量的方向相同或者_____，则称这两个向量平行(或共线)．向量a与b平行，记作a∥b.规定___向量与任意向量平行．相等相同非零相反零1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同．()(2)任意两个单位向量都相等．()(3)平行向量的方向相同或相反．()(4)若AB→＝CD→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点．()(1)×(2)×(3)√(4)×[(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同．(2)任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故不一定相等．(3)由平行向量的定义可知．(4)若AB→＝CD→，则A，B，C，D也可能落在同一条直线上．]A[|a|＝0，则a是零向量，故A项正确．]2．下列说法正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝bC[由题知OB→，OC→，AO→对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．]3．如图，在⊙O中，向量OB→，OC→，AO→是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量4．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量ED→相等的向量为________；(2)若|AB→|＝3，则向量EC→的模等于________．(1)AB→，DC→(2)6[(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，∵AB→＝ED→，AB→＝DC→，∴ED→＝DC→.(2)由(1)知ED→＝DC→，∴E，D，C三点共线，|EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝2|AB→|＝6.]合作探究释疑难向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的，因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．[跟进训练]1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③[①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．②错误．如|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．]向量的直观表示【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东；(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA→如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB→如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，以B为圆心，6为半径作圆，与到B距离为3的竖直直线(在B的上方)的交点即为点C，画出向量BC→如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD→，EF→等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[跟进训练]2．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1→或AA2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．[解]根据规则，画出符合要求的所有向量．马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示．(1)(2)相等向量与共线向量[探究问题]1．向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？[提示]向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示]不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．[思路探究]抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断．[解](1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(3)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(4)与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.相等向量与共线向量需注意的四个问题(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．(4)三点A，B，C共线⇔AB→，AC→共线．[跟进训练]3．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与AB→共线的有________；(2)图中所标出的向量与AB→相等的有________；(3)图中所标出的向量与AB→模相等的有________；(4)图中所标出的向量与EC→相等的有________．[答案](1)BE→，CD→(2)BE→(3)BC→，CD→，DA→，BE→(4)BD→课堂小结提素养一、知识总结1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．对于向量有关命题的真假判断，要注意零向量这一特殊情形．二、常见误区0的特殊性，共线向量不一定在一条直线上．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[日常生活中，常用到两类量，一类量只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫做向量．故选D.]B[易知AB→＝DC→.]2．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()A.DA→和BC→B.DC→和AB→C.DC→和BC→D.DC→和DA→B[因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]3．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆7[由题图可知，以A为始点的向量有AB→，AC→，AD→，AE→，AF→，AG→，AH→，共有7个．]4．如图，以1cm×3cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A为始点，可以写出________个不同的向量．5．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200km到达C地，最后又改变方向，向东突进100km到达D处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.[解](1)向量AB→，BC→，CD→，如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，∴四边