2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章61612向量的加法

第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.2向量的加法学习目标核心素养1.掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(重点)2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算．(难点)1.通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，培养直观想象核心素养．2．通过学习向量加法的运算律，培养逻辑推理素养.情境导学探新知如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅家(点C)．问题1：分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移．[提示]AB→，BC→，AC→.问题2：这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么关系？[提示]AC→＝AB→＋BC→.1．向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义定义：求两个向量和的运算．(2)向量求和的法则三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，作出向量AC→，则向量AC→称为a和b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝____平行四边形法则已知两个_______向量a，b,作AB→＝a，AD→＝b，以AB→，AD→为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量AC→＝_____AC→不共线a＋b(3)多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为_____，第n个向量的终点为_____的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．(4)向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：||a|－|b||___|a＋b|≤|a|＋|b|.始点终点≤[拓展](1)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”．(2)对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a.2．向量加法的运算律交换律结合律a＋b＝______(a＋b)＋c＝a＋_______b＋a(b＋c)思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？[提示]不一定．当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a＋0＝a.()(2)AB→＋BA→＝2AB→.()(3)AB→＋BD→＋DC→＝AC→.()(4)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．()(1)×(2)×(3)√(4)√[(1)两个向量的和仍然是一个向量，所以a＋0＝a.(2)由向量加法的三角形法则知，AB→＋BA→＝0.(3)AB→＋BD→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→.(4)由向量加法的交换律、结合律知，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c＝c＋(a＋b)．]B[由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B.]2．如图所示，AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→等于()A．0B．0C．2AD→D．－2AD→DA→CB→[由向量求和的三角形法则可知a＋d＝DA→，c＋b＝CB→.]3．(一题两空)如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________.0[AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0.]4.AB→＋BC→＋CA→＝________.合作探究释疑难向量加法运算法则的应用【例1】(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB→＋DF→＝________；②AD→＋FC→＝________.(2)下列说法正确的是________．①若|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|≥1，②若向量a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|，③若|a＋b|＝|a|＋|b|，则向量a，b共线．(3)如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c.(1)①AC→②AB→(2)①③[(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.②AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.(2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．](3)[解]利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作OA→＝a，以A为起点，作AB→＝b，再以B为起点，作BC→＝c，则OC→＝OB→＋BC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋b＋c.利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA→，OB→为邻边作▱OADB，则OD→＝a＋b，再以OD→，OC→为邻边作▱ODEC，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c.①②1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．[跟进训练]1．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→.[解](1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形，∴由向量加法的平行四边形法则，得OA→＋OC→＝OB→.(2)由题图可知，BC→＝FE→＝OD→＝AO→，∴BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→.向量加法运算律的应用【例2】(1)下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB→＋BA→＝0；③AC→＝DC→＋AB→＋BD→.A．②③B．②C．①D．③(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：①AB→＋CD→＋BC→；②DB→＋AC→＋BD→＋CA→.(1)B[由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB→＋BA→＝0，故②不正确；DC→＋AB→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＝AC→成立，故③正确．](2)①AB→＋CD→＋BC→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.②DB→＋AC→＋BD→＋CA→＝(DB→＋BD→)＋(AC→＋CA→)＝0＋0＝0.[思路探究]可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．[跟进训练]2．化简：(1)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)；(2)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→.[解](1)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)＝(MA→＋AC→)＋(CB→＋BN→)＝MC→＋CN→＝MN→.(2)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝0.向量加法的实际应用【例3】如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[思路探究]将两根绳子所受的力用向量来表示，根据向量加法的平行四边形法则画和向量即合力的图示，再借助图示求解．[解]如图所示，设CE→，CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→，易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|CE→|＝|CG→|cos30°＝10×32＝53，|CF→|＝|CG→|cos60°＝10×12＝5，所以A处所受的力的大小为53N，B处所受的力的大小为5N.应用向量加法解决物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所要解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原题．提醒：在根据实际问题转化为向量问题时，由于对实际问题的审题不准确导致解题错误．[跟进训练]3．在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东流，“顺风号”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡过长江，其航向应如何确定？[解]由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加法模型．设AB→表示水流速度，AD→表示渡船的速度，AC→表示渡船实际垂直过江的速度．向量AB→方向为正东方向，长度为12.5，向量AD→的长度为25，若向量AD→，AB→的和向量AC→与AB→垂直，求向量AD→的方向．如图所示，以AB为一边，AC为对角线作平行四边形，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC→|＝|AB→|＝12.5，|AD→|＝25，∠CAD＝30°.所以渡船的航向为北偏西30°.向量加法的多边形法则[探究问题]1．在△ABC中，若AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？[提示]一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则AB→＋BC→＝AC→，所以AB→＋BC→＋CA→＝0，那么a＋b＋c＝0.2．如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？[提示]若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．3．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1An→＝A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An.当A1与An重合时，A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An满足什么关系？[提示]当A1与An重合时，有A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝0.【例4】如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B．BE→C．AD→D．CF→[思路探究]用向量加法的运算律，将BA→＋CD→＋EF→变形为CD→＋DE→＋EF→就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．D[因为多边形ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以BA→＝DE→，所以BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.]三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量．[跟进训练]4．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG→＋EA→＋CB→；(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→.[解](1)DG→＋EA→＋CB→＝GC→＋BE→＋CB→＝GC→＋CB→＋BE→＝GB→＋BE→＝GE→.(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→＝EG→＋GD→＋DA→＋AE→＝ED→＋DA→＋AE→＝EA→＋AE→＝0.课堂小结提素养一、知识总结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本法则，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．二、常见误区应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将向量0写成0.D[∵AB→＝a，BC→＝b，∴a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.]1．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，则a＋b等于()A.CA→B.BC→C.AB→D.AC→A[∵OA→＋OC→＝OB→，∴OA→＋OC→＋OE→＝OB→＋OE→＝0.故选A.]