新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件632633平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(逻辑推理)2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算)1．平面向量运算的坐标表示依然可以类比数的运算来学习，注意坐标运算的二维特征.2．由于使用了正交分解，因此平面向量的坐标运算其实是同名坐标之间的运算.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）1．平面向量正交分解的定义把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解.2．平面向量的坐标表示(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_________.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).此式叫做向量a的坐标表示.(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).平面向量的正交分解及坐标表示知识点垂直单位向量(x，y)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]点的坐标与向量坐标的区别和联系点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关.1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2.注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2).(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）3．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____a＋b＝___________________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____a－b＝___________________和(x1＋x2，y1＋y2)差(x1－x2，y1－y2)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）文字描述符号表示数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________λa＝_____________向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝___________________相应坐标(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型探究题型一平面向量的坐标表示典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标.(2)求向量BA→的坐标.(3)求点B的坐标.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝22，所以A(22，22)，故a＝(22，22).因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，所以C－32，332，所以AB→＝OC→＝－32，332，即b＝－32，332.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)BA→＝－AB→＝32，－332.(3)OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332.∴B22－32，22＋332返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求向量坐标的三个步骤：平移―→将向量的始点移至坐标原点↓求角―→找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角θ↓求坐标―→根据x＝rcosθ，y＝rsinθr为向量的模求终点坐标，即为向量坐标返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝2，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(2，2)D．(－2，－2)A[解析]由题意，a＝(2cos45°)i＋(2sin45°)j＝i＋j＝(1,1).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型二平面向量的坐标运算典例2已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求AB→、AC→、AB→＋AC→、AB→－AC→.[分析]先计算出AB→，AC→的坐标，再进行向量的线性运算.[解析]∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)∴AB→＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；AC→＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB→＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；AB→－AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)(2)已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示AD→＋BD→＋CD→.A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)解法1：设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3).即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则BC→＝(－7，－4)，故选A．解法2：BC→＝AC→－AB→＝(－7，－4).(2)AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.[分析]利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标.题型三平面向量坐标运算的综合应用典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由AB→＝(1,2)，DC→＝(3－x，4－y)，且AB→＝DC→，得D(2,2).当平行四边形为ACDB时，由AB→＝(1,2)，CD→＝(x－3，y－4)，且AB→＝CD→，得D(4,6).当平行四边形为ACBD时，由AC→＝(5,3)，DB→＝(－1－x,3－y)，且AC→＝DB→，得D(－6,0)，故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]平行四边形顶点坐标的求解(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸如果将OA→＝32，12绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB→，则OB→的坐标是()A．－12，32B．32，－12C．(－1，3)D．－32，12D返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]因为OA→＝32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB→所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为－32，12，故OB→的坐标是－32，12.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）易错警示典例4误把向量的坐标当作点的坐标已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围.[错解]由已知得AP→＝AB→＋λAC→＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又点P在第三象限，所以3＋5λ0，1＋7λ0，所以λ－35，故λ的取值范围为(－∞，－35).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错因分析]错解中误把向量AP→的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念.[正解]同错解得AP→＝(3＋5λ，1＋7λ)，设点P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3).于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.又点P在第三象限，所以x＝5＋5λ0，y＝4＋7λ0，解得λ－1．所以λ的取值范围为(－∞，－1).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[误区警示]向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量AB→，BC→的坐标.(以O为坐标原点，OA→所在直线为x轴建立平面直角坐标系)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]建立如图所示的平面直角坐标系.因为|OB→|＝1，∠AOB＝150°，所以B(－cos30°，sin30°)，所以B(－32，12).因为|OC→|＝3，∠BOC＝90°，所以C(－3sin30°，－3cos30°)，即C(－32，－332).所以BC→＝(－32，－332)－(－32，12)＝(3－32，－33＋12，)，易知A(2,0)，所以AB→＝(－32，12)－(2,0)＝(－32－2，12).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能