新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件634平面向量数乘运算的坐标表示

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解数乘向量的坐标运算和法则.(数学运算)2．理解用坐标表示向量共线的条件.(数据分析)数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘运算的结果也仍然是坐标.通过坐标的计算来处理向量的共线问题，体现了向量代数与几何的完美结合.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）设向量a＝(x，y)，则有λa＝___________，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.平面向量数乘运算的坐标表示知识点1(λx，λy)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________.平面向量共线的坐标表示知识点2x1y2－x2y1＝0返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）中点坐标公式知识点3若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).(1)当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.(2)x1y2－x2y1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.题型探究题型一向量的坐标运算典例1已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.[解析](1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP→＝12MN→，则P点坐标为_________.A－1，－32返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12).(2)解法1：设P(x，y)，∴MP→＝(x－3，y＋2)，MN→＝(－8，1)，由MP→＝12MN→得P－1，－32.解法2：由MP→＝12MN→得P为MN中点，由中点坐标公式得.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型二向量平行(共线)的判定典例2(1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34(2)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？B返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B．(2)λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12.∴－12a－b＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，72)，即λa－b＝－12(a＋2b).故当λ＝－12时，λa－b与a＋2b平行；平行时它们反向.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．向量共线的判定方法2．利用向量平行的条件求参数值的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷若a＝(3，cosα)，b＝(3，sinα)，且a∥b，则锐角α＝_____.[解析]∵a＝(3，cosα)，b＝(3，sinα)，a∥b，∴3sinα－3cosα＝0，即tanα＝3，又0απ2，故α＝π3.π3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型三三点共线的判定及应用典例3(1)已知OA→＝(3,4)，OB→＝(7,12)，OC→＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)证明：∵AB→＝OB→－OA→＝(4,8)，AC→＝OC→－OA→＝(6,12)，∴AC→＝32AB→，即AB→与AC→共线.又∵AB→与AC→有公共点A，∴A，B，C三点共线.(2)若A，B，C三点共线，则AB→，AC→共线，∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0．解得k＝－2或k＝11．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)是否为0；②任取两点构成向量，计算出两向量，如AB→，AC→，再通过两向量共线的条件进行判断.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸已知OA→＝(k,2)，OB→＝(1,2k)，OC→＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝_______.[解析]AB→＝OB→－OA→＝(1－k,2k－2)，AC→＝OC→－OA→＝(1－2k，－3)，由题意可知AB→∥AC→，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－14(k＝1不合题意舍去).－14返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标.题型四向量法在解析几何中的应用典例4[分析](1)AC与OB相交于点P，则必有O，P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O，P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]解法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6).由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）解法二：设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，OB→＝(4,4)，∵P、B、O三点共线，∴OP→∥OB→.∴4x－4y＝0．又AP→＝OP→－OA→＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，AC→＝OC→－OA→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P、A、C三点共线，∴AP→∥AC→.∴6(x－4)＋2y＝0．由4x－4y＝0，6x－4＋2y＝0，得x＝3，y＝3.∴点P的坐标为(3,3).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P，使AP→＝13AB→.[解析]设点P(x，y)，则AP→＝(x－3，y＋4)，AB→＝(－12,6)，∴(x－3，y＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，即x－3＝－4，y＋4＝2，∴x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值.易错警示典例5处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况[错解]由题意，得3m＝2－m－m，解得m＝5．[错因分析]本题中，当m＝0时，b＝0，显然a∥b成立.错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m·(－m)≠0，漏掉了m＝0这种情况.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[正解]∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5．[误区警示]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的条件为x1y2－x2y1＝0．要注意此条件与条件x1x2＝y1y2的区别，应用x1x2＝y1y2时，分母应不为零.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1．【对点练习】❺已知向量a＝(－1，－1)，b＝(－m,4m＋5)，且a∥b，则m等于()A．－1B．－53C．－1或－53D．0或－2A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能