新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业643第3课时余弦定理正弦定理应用举例Word版

第六章6.46.4.3第3课时A组·素养自测一、选择题1．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(D)A．10kmB．3kmC．105kmD．107km[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107，即A、C两地的距离为107km.2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(D)A．γ，c，αB．b，c，αC．c，α，βD．b，α，γ[解析]本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(B)A．hsinαsinβsinα－βB．hsinβ－αsinαsinβC．hsinαsinβsinα－βD．hsinβsinαsinα－β[解析]在Rt△ADC中，AC＝hsinβ，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ACsinβ－αsinα＝hsinβ－αsinαsinβ.4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A．5nmlieB．53nmlieC．10nmlieD．103nmlie[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(nmlie/h).5．(多选)某人向正东方向走了xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地3km，那么x的值为(AC)A．3B．2C．23D．5[解析]本题考查余弦定理的应用.由题意得(3)2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝3或23，故选AC．二、填空题6．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是__6__km.[解析]如图所示，由题意易知C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，从而AC＝222·32＝6(km).7．一只蜘蛛沿正北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝__1063__cm.[解析]如图，由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°.∠B＝60°，由正弦定理，得xsin∠ACB＝10sin∠B，∴x＝10sin∠ACBsin∠B＝10×sin45°sin60°＝1063.8．坡度为45°的斜坡长为100m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长__50(6－2)__m.[解析]如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，设CD＝x，所以(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°，又DA＝BD·cos45°＝100×22＝502，所以x＝DA·tan45°tan30°－DA＝502×133－502＝50(6－2)m.三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m.∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝CD·sin45°sin60°＝63CD.在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝CD·sin30°sin135°＝22CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝426CD＝100042(m).10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度.[解析]设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0．③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m.B组·素养提升一、选择题1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A、B两船的距离为(D)A．23kmB．32kmC．15kmD．13km[解析]如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC＝2，BC＝3，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC、BC、cos150°＝13，∴AB＝13.2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(A)A．1762nmile/hB．346nmile/hC．1722nmile/hD．342nmile/h[解析]如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×3222＝346，∴v＝MN4＝1762(nmile/h).3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18km，速度为1000km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1km，参考数据：3≈1.732)(B)A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km[解析]本题考查正弦定理的实际应用.∵AB＝1000×160＝503(km)，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032(km).∴航线离山顶的距离为5032×sin75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4(km).∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km).故选B．4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(D)A．5002mB．200mC．10002mD．1000m[解析]∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，∴BC＝AB·sin45°＝10002×22＝1000(m).二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90nmile.此时海盗船距观测站107nmile，20min后测得海盗船距观测站20nmlie，再过__403__min，海盗船到达商船.[解析]如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min).6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝__150__m.[解析]如图，在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝1002.在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知AMsin60°＝1002sin45°，∴AM＝1003.在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝1003×32＝150(m).三、解答题7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值.[解析](1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．所以渔船甲的速度为BC2＝14nmile/h.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°.即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.8．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6km的速度步行了1min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)[解析](1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×160＝100(m)，∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BCsin∠BDC，∴BC＝CD·sin∠BDCsin∠DBC＝100×sin15°sin135°＝100×6－2422＝506－22＝50(3－1)(m)，在Rt△ABE中，tanα＝ABBE，∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(3－1)·32＝25(3－3)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了tmin，则t＝EC6000×60＝253－36000×60＝3－34(min).(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，所以AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(3－1)×12×3＝25(3－3)(m)，即所求塔高为25(3－3)m.