新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业711数系的扩充和复数的概念Word版含解析

第七章7.17.1.1A组·素养自测一、选择题1．(2020·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为(A)A．－2B．1C．2D．1或－2[解析]由题意知：a2＋a－2＝0a2－3a＋2≠0解得a＝－2，故选A．2．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(A)A．－3B．－2C．2D．3[解析]由题意知a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．3．(2019·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．4．(多选)有下列四个命题，其中正确的是(ABC)①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.A．①B．②C．③D．④[解析]经逐一检验知①②③正确，④中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选ABC．5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(C)A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2[解析]若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1，故选C．二、填空题6．(2020·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝__1__.[解析]∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，∴a2－1＝0a＋1≠0，解得a＝1．故答案为1．7．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__2__.[解析]∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a＝2．8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝__2__，n＝__±2__.[解析]由复数相等的充要条件有n2－3m－1＝－3，n2－m－6＝－4⇒m＝2，n＝±2.三、解答题9．分别求满足下列条件的实数x，y的值.(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)x2－x－6x＋1＋(x2－2x－3)i＝0．[解析](1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义得2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y，解得x＝3，y＝－2.(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得x2－x－6x＋1＝0，x2－2x－3＝0，即x＝3或x＝－2，且x≠－1，x＝3或x＝－1，∴x＝3．10．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.[解析](1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0．故若使z为实数，则m2－3m－18＝0m＋3≠0，解得m＝6．所以当m＝6时，z为实数.(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0．故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数.(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0．故若使z为纯虚数，则2m2＋m－3＝0m＋3≠0m2－3m－18≠0，解得m＝－32或m＝1．所以当m＝－32或m＝1时，z为纯虚数.B组·素养提升一、选择题1．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(B)A．2kπ－π4B．2kπ＋π4C．2kπ±π4D．kπ2＋π4(以上k∈Z)[解析]由sin2θ－1＝0，2cosθ＋1≠0，得2θ＝2kπ＋π2，θ≠2kπ＋π±π4(k∈Z).∴θ＝2kπ＋π4(k∈Z).2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1z2，则a的值为(A)A．0B．－1C．－32D．16[解析]由z1z2，得2a2＋3a＝0.a2＋a＝0，－4a＋12a，即a＝0或a＝－32，a＝0或a＝－1，a16.解得a＝0．3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(D)A．－7≤λ≤916B．916≤λ≤7C．－1≤λ≤1D．－916≤λ≤7[解析]由z1＝z2，得m＝2cosθ，4－m2＝λ＋3sinθ，消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－38)2－916.由于－1≤sinθ≤1，故－916≤λ≤7．4．(2020·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－35)＋(cosθ－45)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为(A)A．－7B．－17C．7D．－7或－17[解析]因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即sinθ＝35，cosθ≠45，因为sinθ＝35且cosθ≠45，所以cosθ＝－45，所以tanθ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tanθ－11＋tanθ＝－34－11－34＝－7．二、填空题5．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__.[解析]∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，∴x2－3x－30x－3＝1，解得：x＝4．6．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于__3－i__.[解析]由题意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＝0，2n＋2＝0，解得m＝3，n＝－1，∴z＝3－i.三、解答题7．若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.[解析]由题意，得m2－3m＝0，m2－4m＋3＝0，m210，∴m＝0或m＝3，m＝3或m＝1，|m|10.∴当m＝3时，原不等式成立.8．定义运算abcd＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2yi－y1，求实数x，y的值.[解析]由定义运算abcd＝ad－bc，得3x＋2yi－y1＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，得2x＋y＝0，x＋3＝y，得x＝－1，y＝2．