新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件624向量的数量积

6.2.4向量的数量积基础预习初探1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:(1)如何计算这个力所做的功?提示:根据物理知识知W=|F||s|cosθ.(2)力做的功的大小与哪些量有关?提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.(3)力F在位移s方向上的分力大小是多少?提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cosθ.(4)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把“功”看作是向量间的新运算呢?提示:可把“功”看作向量的数量积运算.2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,回答下列问题:(1)若a·b=0,则a与b有什么关系?提示:由a·b=|a||b|cosθ=0得cosθ=0.所以θ=90°,则a⊥b.(2)a·a等于什么?提示:a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2.(3)a·b与|a||b|有怎样的大小关系?提示:由a·b=|a||b|cosθ.-1≤cosθ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|.(4)如何由向量的数量积公式求其夹角?提示:由a·b=|a|·|b|cosθ得,cosθ=,再由三角函数确定其夹角.(5)实数满足交换律、结合律、分配律,向量数量积是否同样满足这些运算律?提示:向量数量积同样满足交换律、结合律、分配律.abab【概念生成】1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的_____,并规定夹角的范围是_______________.当_______时,a与b同向;当_________时,a与b反向;当________时,a与b垂直,记作a⊥b.OAOB夹角0°≤θ≤180°θ=0°θ=180°θ=90°2.平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积),记法记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为__|a||b|cosθ03.两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则:(1)a·e=e·a=__________.(2)a⊥b⇔_______.(3)当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.特别地,a·a=__=____或|a|=.(4)|a·b|≤_______.|a|cosθa·b=0|a||b|-|a||b|a2|a|2aa|a||b|4.平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ.(1)交换律:a·b=_____.(2)结合律:(λa)·b==.(3)分配律:(a+b)·c=__________.b·aλ(a·b)a·c+b·ca·(λb)核心互动探究探究点一平面向量的数量积【典例1】(1)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0(2)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求:①a·b;②(a+b)·(a-b);③(2a-b)·(a+3b).【思维导引】借助数量积的定义及运算律求解.【解析】(1)选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3.(2)①a·b=|a|·|b|cos120°=2×3×=-3.②(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.③(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.1()2【类题通法】1.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量积的几何意义求a·b.2.求向量数量积的注意事项(1)要牢记数量积的运算公式.(2)要注意确定两个向量的夹角.(3)对于平行向量要注意两向量是同向还是反向.【定向训练】已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.【解析】(1)因为a∥b,若a与b同向,则θ=0°,所以a·b=|a||b|cos0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=|a||b|cos90°=0.(3)当a与b夹角为60°时a·b=|a||b|cos60°=4×5×=10.12【补偿训练】1.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()AFBC51111A.B.C.D.8848【解析】选B.如图,1313BCACABAFADDFABDEABAC222413BCAFACAB(ABAC)24，，所以（）113131111122424213131.442882.已知A,B是单位圆上的两点,O为圆心,且∠AOB=120°,MN是圆O的一条直径,点C在圆内,且满足的最小值为()OCOA1OBCMCN（）（），则R113A.B.C.D.1244【解析】选C.由,得A,B,C三点共线,,所以当||最小时值最小,此时||为圆心到直线AB的距离,由于∠AOB=120°,所以圆心到直线的距离为1·sin30°=,故最小值为-1=-.OCOA1OB（）（）R222COOMCOOMCO1（）CMCNOCOCCOOM（）121434探究点二用向量的数量积解决与模有关的问题【典例2】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为.求|a+b|、|a-b|.【思维导引】(1)将|a-b|与|a+b|都平方即可发现向量a与b的关系.利用公式|a|=求解.(2)利用向量的几何意义画图求解.32a【解析】方法一:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos=,所以|a+b|==.同样可求|a-b|=.32522ab22225252553＋＋＝＋＋＝abab22222525255（－）＝＋－＝＋－＝ababab方法二:由向量线性运算的几何意义求.作菱形ABCD,使AB=AD=5,∠DAB=,设=a,=b,如图所示,则|a-b|==5,|a+b|=.3ABADDBAB＝3AC2AE25532＝＝＝【类题通法】(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:①a2=a·a=|a|2或|a|=,②|a±b|=.由关系式a2=|a|2,可使向量的长度与向量的数量积互相转化.因此欲求|a+b|,可求,将此式展开.(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了.aa2222（）＝＋abaabb（＋）（＋）abab【定向训练】(1)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________;(2)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.13【解析】(1)因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cosα+4=9,所以|a|=3.(2)|a+2b|=.答案:(1)3(2)2222222442421cos60411223（＋）＝＋＋＝＋＋＝＝abaabb3【补偿训练】1.已知|a|=2,|b|=6,a·(b-a)=2,则|a-b|的值为()A.4B.2C.2D.6【解析】选B.因为a·(b-a)=2,所以a·b-a2=2.所以a·b=2+a2=2+|a|2=2+22=6.因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=22-2×6+62=28,所以|a-b|=2.7372.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,则|b|=________.【解析】因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10,又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,所以4|a|2+4|a||b|cos45°+|b|2=10,故4×12+4×1×|b|×+|b|2=10,整理得|b|2+2|b|-6=0,解得|b|=或|b|=-3(舍去).答案:1010222222探究点三向量的夹角与垂直问题【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________;(2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|=________.【思维导引】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a·b的关系,然后代入夹角公式求解.(2)根据a+b+c=0,(a-b)⊥c,可得出向量a与b模相等.【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得a·b=-|b|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=.答案:-(2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b).因为(a-b)⊥c,所以c·(a-b)=0,所以-(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1.答案:122133bababb13【类题通法】求向量夹角的方法向量夹角公式cosa,b=(a,b代表向量a,b的夹角)的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误.abab【定向训练】1.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b【解析】选D.由已知可得:a·b=·cos60°=1×1×=.A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×1=≠0,所以本选项不符合题意;B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,所以本选项不符合题意;C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=-2×1=-≠0,所以本选项不符合题意;D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,所以本选项符合题意.ab12121252121212322.已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1+e2与e1-λe2夹角为60°,则实数λ的值是________.【解析】cos60°=,解得λ=.答案:312122121233123||311（）（）eeeeeeee3333【补偿训练】已知向量满足,E,F分别是线段BC,CD的中点,若=-,则向量与的夹角θ为()ABACAD，，ACABADAB2AD1，，DEBF54ABAD25A.B.C.D.6336【解析】选B.所以=1,cosθ=,所以与的夹角为.22ADABDEABBFAD22ABAD5ADABDEBF224555ABAD.244，，所以ABAD12ABAD3π【课堂小结】课堂素养达标1.(2020·济宁高一检测)已知e1,e2是单位向量,若|e1-4e2|=,则e1与e2的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.120°13课堂素养达标【解析】选B.因为|e1-4e2|=,所以=13,即-8e1·e2+16=13.又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13,所以e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,则cosθ=.又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.13212(4)－ee21e22e121212112112eeee2.下列命题正确的是()A.|a·b|=|a||b|B.a·b≠0⇔|a|+|b|≠0C.a·b=0⇔|a||b|=0D.(a+b)·c=a·c+b·c【解析】选D.选项D是分配律,正确,A、B、C不正确.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=()A.16B.-8C.8D.-16【解析】选A