新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测722复数的乘除运算Word版含解析

课时素养检测十八复数的乘、除运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.2.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以所以a-1.4.若+=2,则n的值可能为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.因为=i,=-i,所以in+(-i)n=k∈N+,所以n的值可能为4.5.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则=()A.+iB.+iC.--iD.--i【解析】选C.由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以===--i.6.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则()A.a-5b=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=0【解析】选D.z=+bi=+bi=+i.由题意,得=--b,即3a+5b=0.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若复数z满足:z·(1+i)=2,则|z|=________.【解析】因为z·(1+i)=2,所以z====1-i,故|z|=.答案:8.(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知a∈R,复数z=.(1)若z为纯虚数,求a的值;(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求a的取值范围.【解析】(1)z===-i,因为z为纯虚数,所以=0,且-≠0,则a=1.(2)由(1)知,=+i,则点位于第二象限,所以,得-1a1.所以a的取值范围是(-1,1).10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+-3i,所以f(+i)=2(+i)+()-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得解得所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.设z=,则z的共轭复数为()A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i【解析】选D.由z===1+3i,得=1-3i.2.已知复数z满足z·i2020=1+i2019(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.因为i4=1,所以i2020=i4×505=1,i2019=i4×504+3=-i,则z·i2020=1+i2019化为z=1-i,所以z的虚部为-1.3.(多选题)下列叙述正确的是()A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ0,两个根为共轭虚数,选项A正确.i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为=,所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知i为虚数单位,则=________.【解析】===-1.答案:-16.已知i是虚数单位,z=,则|z|=________.【解析】因为==i,所以z==·=i1009·=i4×252+1·=i·=-+i,|z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.答案:18.计算+=________.【解析】+=+=-2.答案:-2三、解答题(共38分)9.(12分)已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以解得或,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.(12分)(2020·三明高一检测)已知i是虚数单位,复数z=2-i+(4-2i)i.(1)求复数z的模|z|;(2)若z+m+n=1+3i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.【解析】(1)因为z=2-i+(4-2i)i,所以z=2-i+4i+2=4+3i,则|z|==5;(2)由(1)知z=4+3i,=4-3i,所以z+m+n=4+3i+m(4-3i)+n=1+3i,即4+4m+n+(3-3m)i=1+3i,所以解得11.(14分)若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+=a+bi+=a+bi+=+i.因为z+是实数,所以b-=0.又因为b≠0,所以a2+b2=5.①又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0.②由①②得解得或故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.