新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测863平面与平面垂直二Word版含解析

课时素养检测三十三平面与平面垂直(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列说法错误的是()A.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于βB.如果α不垂直于β,那么α内不存在直线垂直于βC.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于βD.若α⊥β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1⊂平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A错.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点F,作FE⊥A1B1于E,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.3.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,又因为AH∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC一定为直角三角形.4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选D.如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m,AB∥l⇒AB∥β.故选D.5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.6.(多选题)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.以下四个结论中正确的为()A.PA∥平面MOBB.MO∥平面PACC.OC⊥平面PACD.平面PAC⊥平面PBC【解析】选BD.因为PA⊂平面MOB,所以选项A不正确;因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,所以选项B正确;OC不垂直于AC,所以选项C不正确;因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是________.【解析】过A作AO⊥BD于O点,因为平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.答案:45°【补偿训练】如图所示,等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为________.【解析】因为平面ABS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB⊂平面ABCD,CB⊥AB.所以CB⊥平面ABS.所以∠BSC是直线SC与平面ABS所成的角.因为SB=AB=BC,CB⊥SB,所以∠BSC=45°,所以直线SC与平面ABS所成的角为45°.答案:45°8.在四面体S-ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=,AC=,则该四面体体积的最大值为________,此时该四面体外接球的表面积为________.【解析】四面体的体积最大时即平面SAB⊥平面ABC,SA=SB=2,且SA⊥SB,所以AB=2,BC=,AC=,所以∠ACB=90°,取AB的中点H,连接CH,SH,SH⊥AB,平面SAB∩平面ABC=AB,SH在平面SAB内,所以SH⊥平面ABC,而SH=SA=,所以VS-ABC=·S△ABC·SH=××××=;则外接球的球心在SH上,设球心为O,连接OC,CH=AB=·SA=,因为SH==HA=HB,所以O与H重合,所以R=,所以四面体的外接球的表面积S=4πR2=8π.答案:8π三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.【证明】(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.【补偿训练】如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.【证明】因为α⊥β,α∩β=l,ABα,AB⊥l,所以AB⊥β.因为DEβ,所以AB⊥DE.因为BC⊥DE,AB∩BC=B,所以DE⊥平面ABC.因为AC平面ABC,所以AC⊥DE.10.(2017·北京高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,因为PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,因为BD平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,又DE=平面BDE∩平面PAC,PA平面PAC,所以PA∥DE,因为D是AC的中点,所以E为PC的中点,所以DE=1,所以S△BDC=S△ABC=××2×2=1,VE-BCD=×1×DE=×1×1=.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.当α⊥β时,在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β,因此,垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β.2.已知平面α,β,γ,则下列命题中正确的是()A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γB.α∥β,β⊥γ,则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α【解析】选B.A中α,γ可以相交;C中如图,a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α.3.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是()A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】选D.由题意画出图形,如图,设正方形的边长为2,折叠前后AD=2,DM=1,连接AC交BD于O,连接OM,则OM=1,AO=,因为正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,AO⊥BD,所以AO⊥平面BCD,所以AO⊥OM,在Rt△AOM中,AM==,又AD=2,MD=1,所以DM2+AM2=AD2,所以∠AMD=90°.4.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,下列命题中是真命题的是()A.若a⊥b,b⊥c,则a∥cB.若a∥b,a∥c,则b∥cC.若a∥γ,b∥γ,则a∥bD.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A错误;对于B,若a∥b,a∥c,则b∥c,满足平行线公理,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图所示,边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有________.(填上所有正确结论的序号)①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.②三棱锥A′-FED的体积有最大值.③恒有平面A′GF⊥平面BCED.④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.【解析】因为DE⊥A′G,DE⊥GF,A′G∩GF=G,所以DE⊥平面A′GF,又DE平面BCED,所以平面A′GF⊥平面BCED,故③正确.过A′作A′H⊥AF,垂足为H(图略),则A′H平面A′GF,所以A′H⊥DE,又DE∩AF=G,所以A′H⊥平面ABC,故①正确.三棱锥A′-FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离.易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A′-FED的体积最大,故②正确.易知BD∥EF,所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.正△ABC的边长为2a,AE=a,EF=a,而A′F的长度的取值范围是(0,a),当A′F=a时,A′E2+EF2=A′F2,∠A′EF=90°,此时直线A′E与BD互相垂直,故④错误.答案:①②③6.如图,在▱ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC.在四面体A-BCD的四个面中,写出互相垂直的两对平面:________和________.【解析】在平行四边形ABCD中,因为AB∥CD,AB⊥BD,所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD.所以CD⊥平面ABD.又CD平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD.因为AB⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,所以共有3对互相垂直的平面,选其中两对即可.答案:平面ACD⊥平面ABD平面ABC⊥平面BCD(答案不唯一)三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD;(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.【证明】(1)取BC的中点M,连接DM,因为BD=CD且BD⊥CD,BC=2.所以DM=1,DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因为AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM.又△ABC是正三角形,M为BC的中点,所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD,所以DE⊥CD.因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE.因为CD平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.8.(14分)(20