第20课函数的平均变化率2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第三单元函数第20课函数的平均变化率一、基础巩固1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44【答案】B【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()A．0B．1C．3D．Δx【答案】A【解析】ΔyΔx＝1－1Δx＝0.3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．12＋Δt＋9ΔtC．12＋2ΔtD．12【答案】C【解析】ΔsΔt＝[23＋Δt2＋5]－2×32＋5Δt＝12＋2Δt.4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2【答案】C【解析】根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝2a＋b－a＋b2－1＝a＝3，故选C.5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有fx1－fx2x1－x2＞0，则()A．f(x)在这个区间上为增函数B．f(x)在这个区间上为减函数C．f(x)在这个区间上的增减性不确定D．f(x)在这个区间上为常数函数【答案】A【解析】①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．【答案】3－Δx【解析】ΔyΔx＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1Δx＝3－Δx.7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．【答案】v1＜v2＜v3【解析】v1＝st1－st0t1－t0＝kOA，v2＝st2－st1t2－t1＝kAB，v3＝st3－st2t3－t2＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3.8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．【答案】6x0＋3Δx12.3【解析】函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.9．判断函数g(x)＝kx(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．【答案】增函数【解析】设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝kx1－kx2＝kx2－x1x1x2，ΔyΔx＝gx1－gx2x1－x2＝－kx1x2.∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴ΔyΔx＝－kx1x2＞0，∴g(x)＝kx(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．【答案】（1）增函数；（2）最大值54，最小值32【解析】(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋1＝2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1x1＋1x2＋1＝3x1－x2x1＋1x2＋1，所以ΔyΔx＝fx1－fx2x1－x2＝3x1＋1x2＋1.因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以ΔyΔx＝3x1＋1x2＋1＞0，所以f(x)＝2x－1x＋1在[3,5]上是增函数．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3－13＋1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5－15＋1＝32.二、拓展提升11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点32，314及邻近一点32＋Δx，314＋Δy，则ΔyΔx＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3【答案】D【解析】∵Δy＝f32＋Δx－f32＝－3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝－3Δx－Δx2Δx＝－3－Δx，故选D.12.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定【答案】D【解析】k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．13．已知曲线y＝1x－1上两点A2，－12，B2＋Δx，－12＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．【答案】－16【解析】∵Δy＝12＋Δx－1－12－1＝12＋Δx－12＝2－2＋Δx22＋Δx＝－Δx22＋Δx，∴ΔyΔx＝－Δx22＋ΔxΔx＝－122＋Δx，即k＝ΔyΔx＝－122＋Δx.∴当Δx＝1时，k＝－12×2＋1＝－16.14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．【答案】34【解析】由函数f(x)的图像知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1＜x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f2－f02－0＝3－322＝34.15．已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）72（2）(－3，＋∞)【解析】(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2.设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·1－12x1x2，∴ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝2x1x2－12x1x2.∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴ΔyΔx＝2x1x2－12x1x2＞0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).