2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题七数列文解析

数列的考查主要分为三种，第一种考的是等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差等比数列中项的性质、判断与证明；第二种数列求和的考查，主要以解答题的形式出现，一般求和方法有：分组求和、错位相减、裂项相消等；第三种是数列与其他知识的综合考查，例如数列与函数、不等式结合来探究数列中的最值和不等式的证明．等差数列的通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑等差中项：2𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1，若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞，则𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑝+𝑎𝑞(𝑚，𝑛，𝑝，𝑞∈𝐍∗)等差数列的求和公式：12nnnaaS，112nnndSna等比数列的通项公式：𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1等比中项：𝑎𝑛2=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1，若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞，则𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑝⋅𝑎𝑞(𝑚，𝑛，𝑝，𝑞∈𝐍∗)等比数列的求和公式：1111nnaqSqq前𝑛项和𝑆𝑛与第𝑛项𝑎𝑛的关系：𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛𝑛−1考点清单命题趋势专题7××数列一、选择题．1．已知{𝑎𝑛}是公差为1的等差数列，𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆8=4𝑆4，则𝑎10=（）A．172B．192C．10D．12【答案】B【解析】由𝑆8=4𝑆4，得8𝑎1+28𝑑=4(4𝑎1+6𝑑)，解得112a，1011992aa．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前𝑛项和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题．2．已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆9=54，𝑎11+𝑎12+𝑎13=27，则𝑆16=（）A．120B．60C．160D．80【答案】A【解析】因为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆9=54，𝑎11+𝑎12+𝑎13=27，所以𝑆9=9𝑎5=54，3𝑎12=27，所以𝑎5=6，𝑎12=9，所以1165121616161669120222aaaaS，故选A．【点评】本题的考查点为数列的前𝑛项和公式，以及等差中项，属于基础题．3．已知等比数列的首项为1，前𝑛项和为𝑆𝑛，若1053132SS，则公比𝑞=（）A．2B．2C．12D．12【答案】D【解析】当公比𝑞=1时，1052SS，不满足题意；经典训练题精题集训（70分钟）当𝑞≠1时，101011qSq，5511qSq，所以1051055131111321qSqqqSq，解得12q，故选D．【点评】本题主要考查了等比数列前𝑛项和的计算、通项公式，属于基础题．4．在数列{𝑎𝑛}中，对任意𝑛∈𝐍∗，都有𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=0，则123422aaaa等于（）A．14B．13C．12D．1【答案】A【解析】由𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=0，得12nnaa，即数列{𝑎𝑛}是以2为公比的等比数列，1212122234121222212222424aaaaaaaaaaaa，故选A．【点评】本题考查了等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题型．5．设等差数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛和𝑇𝑛，且353nnSntTn，若731114abb，则𝑡=（）A．5B．6C．22D．512【答案】A【解析】由题意可得13713Sa，1331172213Tbbb，则7133111331312251334aStbbT，解得𝑡=5，故选A．【点评】本题考查等差数列的前𝑛项和，等差数列的前𝑛项和性质：{𝑎𝑛}是等差数列，𝑆𝑛是其前𝑛项和，则（1）𝑆𝑚，𝑆2𝑚−𝑆𝑚，𝑆3𝑚−𝑆2𝑚是等差数列，（2）𝑆2𝑛−1=(2𝑛−1)𝑎𝑛．6．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，11nnnaaa，则𝑎6的值为（）A．16B．14C．3D．6【答案】A【解析】因为𝑎1=1，11nnnaaa，所以121112aaa，23211211312aaa，34311311413aaa，45411411514aaa，56511511615aaa，故选A．【点评】本题主要考查了等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．二、解答题．7．已知公比大于0的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎2=4，𝑎1+5是2S和𝑎3的等差中项．（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）若nnnba，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．【答案】（1）2nna；（2）222nnnT．【解析】（1）设数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞(𝑞0)，由题意知2(𝑎1+5)=𝑆2+𝑎3，即442544qqq，化简得2𝑞2−3𝑞−2=0，因为𝑞0，所以𝑞=2．所以222422nnnnaaq．（2）由（1）可知2nnnnnba．所以1231232222nnnT，①231112122222nnnnnT，②由①②，可得12311111111111222112222222212nnnnnnnnnT，所以222nnnT．【点评】数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．8．已知数列{𝑎𝑛}是公差为𝑑的等差数列，且𝑎1=2，𝑎2是14,aa的等比中项．（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）当𝑑0时，求数列11nan的前n项和𝑇𝑛．【答案】（1）当𝑑=0时，𝑎𝑛=2；当𝑑=2时，𝑎𝑛=2𝑛；（2）22nn．【解析】（1）∵𝑎2是14,aa的等比中项，∴(𝑎1+𝑑)2=𝑎1(𝑎1+3𝑑)，即(2+𝑑)2=2(2+3𝑑)，整理得𝑑2−2𝑑=0，解得𝑑=0或𝑑=2．当𝑑=0时，𝑎𝑛=2；当𝑑=2时，𝑎𝑛=2+2(𝑛−1)=2𝑛．（2）由（1）知，当𝑑0时，𝑎𝑛=2𝑛，1111112121nannnnn，11111111111122233412122nnTnnnn．【点评】本题主要考查等差数列通项公式和裂项相消法求前n项和，涉及到等比中项，属于中档题．9．已知等差数列{𝑎𝑛}的前四项和为10，且𝑎2，𝑎3，𝑎7成等比数列．（1）求数列{𝑎𝑛}通项公式；（2）设𝑏𝑛=𝑎𝑛+2𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．【答案】（1）52na或𝑎𝑛=3𝑛−5；（2）12372222nnSnn．【解析】（1）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，由题意，得123412111461062aaaaadadadad，解得1520ad或123ad，所以52na或𝑎𝑛=−2+3(𝑛−1)=3𝑛−5．（2）当52na时，522nnb，此时11221255222122nnnnSbbbnn；当𝑎𝑛=3𝑛−5时，𝑏𝑛=(3𝑛−5)+2𝑛，此时1212212235372221222nnnnnSbbbnnn．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．一、填空题．1．设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛=3−2𝑎𝑛，则𝑆5=_________．【答案】21181【解析】由题意，数列{𝑎𝑛}满足𝑆𝑛=3−2𝑎𝑛，高频易错题当𝑛≥2时，𝑆𝑛−1=3−2𝑎𝑛−1，两式相减可得𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−2𝑎𝑛，即𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1−2𝑎𝑛，可得1223nnana，令𝑛=1，可得𝑆1=3−2𝑎1，即𝑎1=3−2𝑎1，可得𝑎1=1，所以数列{𝑎𝑛}是首项为1，公比为23的等比数列，所以5521[1)211328113S，故答案为21181．【点评】本题考查了通项与前𝑛项和公式关系，但要注意在运算𝑎𝑛=𝑠𝑛−𝑠𝑛−1时，前提为𝑛≥2．2．数列{𝑎𝑛}满足2121231722222nnaaaann，若对任意𝜆0，所有的正整数n都有𝜆2−𝑘𝜆+2𝑎𝑛成立，则实数k的取值范围是_________．【答案】31,2【解析】记𝑏𝑛=2𝑛−1𝑎𝑛，设21212317222222nnnSaaaann，当𝑛=1时，117322b；当𝑛≥2时，22117171142222nnnbSSnnnnn．当𝑛=1时，𝑏1=−3也满足上式，所以𝑏𝑛=𝑛−4(𝑛∈𝐍∗)，即142nnna．显然当𝑛≤3时，𝑎𝑛0，𝑎4=0，当𝑛≥5时，𝑎𝑛0，因此𝑎𝑛的最大值若存在，必为正值．当𝑛≥5时，1324nnanan，因为151024nnanan，当且仅当𝑛=5时取等号，所以𝑎𝑛的最大值为116．故21216k，变形得3116k，而313131162162，当且仅当314时取等号，所以312k．故答案为31,2．【点评】本题主要考查𝑆𝑛与𝑎𝑛的关系1112,,nnnSnaSSn应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记𝑏𝑛=2𝑛−1𝑎𝑛，设21212317222222nnnSaaaann，利用通项𝑏𝑛与前𝑛项和𝑆𝑛的关系1112,,nnnSnbSSn，求出通项𝑏𝑛，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．一、填空题．1．各项均为正数的等比数列，若𝑎1𝑎9+2𝑎5𝑎6+𝑎3𝑎9=4，则𝑎6+𝑎5=_________．【答案】2【解析】由各项均为正数的等比数列得𝑎1𝑎9+2𝑎5𝑎6+𝑎3𝑎9=𝑎52+2𝑎5𝑎6+𝑎62=(𝑎5+𝑎6)2=4，所以𝑎5+𝑎6=2．故答案为2．【点评】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞，精准预测题则𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑝⋅𝑎𝑞”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．2．已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑡，则数列的通项公式𝑎𝑛=__________．【答案】2⋅3𝑛【解析】由𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑡得，当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=32+𝑡=9+𝑡，当𝑛=2时，𝑎1+𝑎2=𝑆2=33+𝑡=27+𝑡，9+𝑡+𝑎2=27+𝑡，所以𝑎2=18，当𝑛=3时，𝑎3=𝑆3−𝑆2=34−33=54，因为数列{𝑎𝑛}是等比数列，所以𝑎22=𝑎3𝑎1，即18×18=54×(