2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试八省联考数学试题解析版

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知,MN均为R的子集，且RMNð，则MNRð（）A.B.MC.ND.R【答案】B【解析】【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：RMNð,RMNð，据此可得RMNMð.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合RMð，矩形区域CDFG表示集合N，满足RMNð，结合图形可得：RMNMð.故选：B.2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】C【解析】【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,ABC，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.3.关于x的方程20xaxb，有下列四个命题：甲：1x是该方程的根；乙：3x是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20xaxb的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x是方程20xaxb的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.4.椭圆2222101xymmm的焦点为1F、2F，上顶点为A，若123FAF，则m（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】分析出12FAF为等边三角形，可得出2ac，进而可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】在椭圆2222101xymmm中，21am，bm，221cab，如下图所示：因为椭圆2222101xymmm的上顶点为点A，焦点为1F、2F，所以12AFAFa，123FAFQ，12FAF△为等边三角形，则112AFFF，即2122mac，因此，3m.故选：C.5.已知单位向量,ab满足0ab，若向量72cab，则sin,ac（）A.73B.23C.79D.29【答案】B【解析】【分析】本题借助cos,acacac将72cab代入化简即可.【详解】因为,ab是单位向量，所以1abrr.因为72cab，所以2227272723cababab.所以2727277cos,=3aabacaabacacacacc所以272sin,133ac.故选：B.6.239111xxx的展开式中2x的系数是（）A.60B.80C.84D.120【答案】D【解析】【分析】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC，借助组合公式：11mmmnnnCCC，逐一计算即可.【详解】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC因为11mmmnnnCCC且2323CC，所以2232323334CCCCC，所以222233234445CCCCCC，以此类推，2222323234999101098120321CCCCCCC.故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11mmmnnnCCC，以达到简化运算的作用.7.已知抛物线22ypx上三点(2,2),,ABC，直线,ABAC是圆22(2)1xy的两条切线，则直线BC的方程为（）A.210xyB.3640xyC.2630xyD.320xy【答案】B【解析】【分析】先利用点(2,2)A求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点,BC，即求出直线BC方程.【详解】(2,2)A在抛物线22ypx上，故2222p，即1p，抛物线方程为22yx，设过点(2,2)A与圆22(2)1xy相切的直线的方程为：22ykx，即220kxyk，则圆心2,0到切线的距离2202211kkdk，解得3k，如图，直线:232AByx，直线:232ACyx.联立22322yxyx，得23431416830xx，故16833ABxx，由2Ax得8433Bx，故2363By，联立22322yxyx，得23431416830xx，故16833ACxx，由2Ax得8433Cx，故2363Cy，故236236433BCyy，又由,BC在抛物线上可知，直线BC的斜率为22221114222BCBCBCBCBCBCyyyykxxyyyy，故直线BC的方程为2361843323yx，即3640xy.故选：B.【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.8.已知5a且5e5e,4aab且44,3bbeec且3e3ecc，则（）A.cbaB.bcaC.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】令,0xefxxx，利用导数研究其单调性后可得,,abc的大小.【详解】因为5e5e,5aaa，故0a，同理0,0bc，令,0xefxxx，则21xexfxx，当01x时，0fx，当1x时，0fx，故fx在0,1为减函数，在1,为增函数，因为5e5e,5aaa，故5ee5aa，即5ffa，而05a，故01a，同理01b，01c，4ffb，3ffc因为543fff，故fafbfc，所以01abc.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()ln(1)fxxx，则（）A.()fx在(0,)单调递增B.()fx有两个零点C.曲线()yfx在点11,22f处切线的斜率为1ln2D.()fx是偶函数【答案】AC【解析】【分析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.【详解】由()ln(1)fxxx知函数的定义域为(1,)，)ln(1)1(xxfxx，当(0,)x时，ln(1)0,01xxx，()0fx，故()fx在(0,)单调递增，A正确；由(0)0f，当10x时，ln(1)0,()ln(1)0xfxxx，当ln(1)0,()0xfx，所以()fx只有0一个零点，B错误；令12x，1)ln1ln2121(2f，故曲线()yfx在点11,22f处切线的斜率为1ln2，C正确；由函数的定义域为(1,)，不关于原点对称知，()fx不是偶函数，D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.10.设123,,zzz为复数，10z．下列命题中正确的是（）A.若23zz，则23zzB.若1213zzzz，则23zzC.若23zz，则1213zzzzD.若2121zzz，则12zz【答案】BC【解析】【分析】取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】由复数模的概念可知，23zz不能得到23zz，例如23,11iizz，A错误；由1213zzzz可得123()0zzz，因为10z，所以230zz，即23zz，B正确；因为2121||||zzzz，1313||||zzzz，而23zz，所以232||||||zzz，所以1213zzzz，C正确；取121,1zizi，显然满足2121zzz，但12zz，D错误.故选：BC11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A.//AECDB.//CHBEC.DGBHD.BGDE【答案】BCD【解析】【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AECD，故A错误；由//,HEHBCEBC，四边形BCHE为平行四边形，所以//CHBE，故B正确；因为,DGHCDGBC,HCBCC,所以DG平面BHC,所以DGBH，故C正确；因为//BGAH，而DEAH,所以BGDE，故D正确.故选：BCD12.设函数cos2()2sincosxfxxx，则（）A.()()fxfxB.()fx的最大值为12C.()fx在,04单调递增D.()fx在0,4单调递减【答案】AD【解析】【分析】先证明()fx为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断CD的正误．【详解】()fx的定义域为R，且cos2()2sincosxfxxx，