四川省成都市第七中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

四川省成都市第七中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列的前n项和为，若，则等于A.18B.36C.54D.72【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由,结合等差数列的求和公式可求得.【详解】数列为等差数列，,由等差数列的性质得：,又其前项和为,，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题.解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.2.已知点的坐标满足条件，则的最大值为（）A.B.8C.10D.16【答案】C【解析】可行域如图,表示可行域内点到原点距离的平方,所以的最大值为,选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3.已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由得，由得，所以，选A.4.如图，则（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】B【解析】由三余弦定理得选B.5.若直线与直线互相垂直，则的值为（）A.1B.-1C.D.【答案】C【解析】由两直线垂直充要条件得：，选C.6.若的内角的对边分别为，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：针对利用正弦定理边角互化可得，即，所以，所以.考点：本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.7.直线与连接的线段相交，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得在直线上或异侧，所以，选D.8.已知某几何体的三视图如图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=1/2×4π/3×()3+1/3×1/2×1×1×1=π/6+1/6，故选C．9.(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2【答案】D【解析】，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.10.设，则有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简，分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简，利用降幂公式化简，从而可得结果.【详解】，，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.若sin＝－cos2α，则sin2α的值可以为()A.－或1B.C.D.－【答案】A【解析】，选A.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：∵AC⊥平面，又BE⊂平面，∴AC⊥BE．故A正确．∵EF垂直于直线，，∴⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体中，直线与所成角大小为__________．【答案】【解析】因为,所以直线与所成角为因为,所以,即直线与所成角大小为14.过点且与原点的距离为1的直线共有__________条.【答案】2【解析】显然过点且与原点的距离为1;再设,由,所以满足条件的直线有两条15.已知关于的不等式的解集为，则__________．【答案】-2【解析】为方程两根,因此16.数列满足，，写出数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题（共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，在直三棱柱中，，点是的中点.（1）在棱上找一点，当在何处时可使平面平面，并证明你的结论；（2）求二面角大小的正切值.【答案】(1)在棱中点(2)【解析】试题分析：（1）先寻找线线平行，所以取为棱中点，再根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据线面平行证面面平行（2）过点作直线的垂线,再由三垂线定理可得也与直线垂直，即为二面角的平面角.再结合勾股定理解三角形得二面角大小的正切值试题解析：解：（1）当在棱中点时，可使平面平面，证明：易得.因此平面平面.（2）在平面内，过点作直线的垂线，记垂足为，连接，即为二面角的平面角.由已知，结合勾股定理得为直角三角形，，从而.二面角大小的正切值为.点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.18.已知直线，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点.（1）记的面积为，求的最小值并求此时直线的方程；（2）直线过定点，求的最小值.【答案】（1）最小值为4，直线方程为（2）4【解析】试题分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，根据直角三角形面积公式可得，再根据基本不等式求最值，并确定的值，即得直线的方程；（2）利用向量数量积得，再根据基本不等式求最值试题解析：解：由题意，分别令，解得且.（1）时，当且仅当时取等.所以的最小值为4，此时直线的方程为.（2）易得，∴，，当且仅当时取到，的最小值为4.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19.如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求与面所成角大小的正弦值；（3）求证：面.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）取的中点，利用平几知识证四边形是平行四边形.即得.再根据线面平行判定定理得平面；（2）由矩形得即为与面所成角，再解直角三角形得与面所成角的正弦值（3）由等腰三角形性质得，再根据矩形得而，所以根据线面垂直判定定理得平面，即得，因此平面.最后根据，得面.试题解析：解：记中点为，易得平行且等于，（1）证明：如图，取的中点，连结，则有，且，∴四边形是平行四边形.∴.∵平面，平面，∴平面；（2）易得即为与面所成角，，所以，与面所成角大小的正弦值为；（3）证明：∵平面平面平面.∴，∵，∴平面，又∵平面，∴，∵，为中点，∴，又∵，∴平面.∵，∴平面.20.已知，函数，的内角所对的边长分别为.（1）若，求的面积；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积坐标表示得，再根据二倍角公式及配角公式得，根据可解得，由正弦定理可得即得，最后根据直角三角形面积公式求面积（2）由得利用同角三角函数关系得，最后根据，利用两角和余弦公式展开得的值.试题解析：解：，（1）由，结合为三角形内角得而.由正弦定理得，所以.（2）由时，，∴，21.设的内角所对的边长分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）20解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：，从而，即；（2）由（1）知内角均为锐角，如图所示过作垂直于垂足为.设，由题意结合得，且，所以时，.【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角：，再根据三角形内角关系及诱导公式得，即得，因此；（2）过作垂直于垂足为，利用底乘高的一半表示三角形面积：设，则由比例关系，因此，又，所以可利用基本不等式求最值试题解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：，从而，即；（2）由（1）知内角均为锐角，过作垂直于垂足为.设，由题意结合得，且，所以时，.22.已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）对条件两边同除以得，即得数列首项及公差均为1的等差数列，再根据等差数列通项公式求数列的通项公式；（2）因为，所以利用错位相减法求和得数列的前项和；（3）对裂项处理：，再根据分组求和以及裂项相消法求和得数列的前项和.试题解析：（1）由得，得；（2）易得，错位相减得所以其前项和；（3），或写成.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.