四川省2019届高三数学下学期（4月）“联测促改”活动试题 文（含解析）

四川省2019届高三数学下学期（4月）“联测促改”活动试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对集合中的不等式进行求解，得到解集后再与集合取交集.【详解】因为集合，所以.故选C项【点睛】本小题考查集合的基本运算，不等式解法、交集等基础知识：考查运算求解能力.2.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题得z=-1+2i,再求复数的共轭复数-1-2i.【详解】由题得z=-1+2i,所以复数的共轭复数-1-2i.故选：B【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查共轭复数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的最小正周期为求出，再令=,即得函数的对称轴方程.【详解】因为函数的最小正周期为，所以.所以，令=,所以，当k=0时，.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和对称轴方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列说法中错误的是（）A.从某社区65户高收入家庭，28户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样为分层抽样.B.线性回归直线一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D.若一组数据的众数是，则这组数据的中位数是【答案】C【解析】【分析】分别对四个选项进行判断，得到选项为正确，选项错误.【详解】对于，由于各个家庭收入差距明显适于用分层抽样，正确；对于，线性回归直线一定过样本中心点，正确；对于，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，错误；对于，一组数据、、、的众数是，；所以该组数据的中位数为，正确.故选D项.【点睛】本小题考查分层抽样，线性回归，线性相关，中位数与众数等基础知识，意在考查学生分析问题，及解决问题的能力和运算求解能力.5.若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.B.-1C.0D.1【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用斜率求的最小值得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，表示可行域内的点到定点（4,0）之间的线段的斜率，联立得A(2,3),如图所示，当点位于可行域内的点A(2,3)时，直线的斜率最小，所以的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.6.设曲线在点处的切线方程为，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由题得，再利用求a的值.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A.729B.428C.356D.243【答案】D【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，底面是边长为9的正方形，高PA=9,所以几何体的体积为.故选：D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A.-1B.0C.D.1【答案】A【解析】【分析】直接模拟程序框图运行得解.【详解】由题得1≤3，S=2,i=2;2≤3，S=2+4,i=3;3≤3，S=2+4+8,i=4;.故选:A【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令m=1得，再利用累加法求数列的通项公式.【详解】令m=1,得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为3，且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（）A.12B.6C.32D.24【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出底面四边形ABCD的面积的最大值，即得锥体体积的最大值.【详解】由锥体的体积公式v=，可知，当s和h都最大时，体积最大.由题得顶点P到底面ABCD的距离h≤2.当点P在底面上的射影恰好为圆心O时，即PO⊥底面ABCD时，PO最大=2，即,此时,即四边形ABCD为圆内接正方形时，四边形ABCD的面积最大，所以此时四边形ABCD的面积的最大值=,所以.故选：A【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算和最值的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由题设,其中，先利用两点间的距离公式求出，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.【详解】由题设,其中.可以由题得≤5，此时.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12.已知函数，对任意的，恒有成立，则的范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】由题得在[1，3]上单调递增，所以由题得，所以函数g（x）在[1,3]上单调递减，所以，由题得所以.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】由，得到和的坐标关系，得到的方程，得到【详解】因为，所以，解得.【点睛】本小题考查向量平行的定义，同角三角函数等基础知识；考查运算求解能力.14.已知等比数列中，，，则__________．【答案】【解析】【分析】设数列的公比为，由，，解得，，可得数列的首项，公比，进而可求和得解.【详解】设数列的公比为，则，所以，，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以.【点睛】本小题考查等比数列的通项公式，前项和的公式及其应用等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，应用意识.15.已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为_____．【答案】-2【解析】【分析】先分析得到函数f(x)的周期为4，再求f(5)和f(2)的值，即得解.【详解】由题得-f(x),所以，所以函数的周期为4，所以因为定义在上的奇函数满足，所以所以=-2+0=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数的周期和函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线与圆有公共点，且圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．【答案】【解析】【分析】由得，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于，从而可以设出双曲线的方程，代入点得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由的斜率为，则圆在点处的切线斜率为，所以双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，因点在双曲线上，所以，所以双曲线方程为，即，即，所以实轴长.【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分17.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）你能否估计哪个班级学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？（2）从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为，求的概率；【答案】（1）班学生（2）【解析】【分析】（1）班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为17颗，班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.（2）利用古典概型的概率计算的概率.【详解】解：（1）班样本数据的平均值为.由此估计班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为17颗；班样本数据的平均值为，由此估计班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.（2）班的样本数据中不超过19的数据有3个，分别为9，11，14，班的样本数据中不超过21的数据也有3个，分别为11，12，21.从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为，，，，，，，，.其中的情况有，，三种，故的概率.【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在中，已知点在边上，且，，，.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先计算得到，再利用余弦定理求出的长(2)先利用余弦定理求得,即得.在中，易得.再求得的面积为.【详解】（1）因为，所以，所以.在中，由余弦定理得：，所以.（2）在中，由（1）知，，所以.则.在中，易得..所以的面积为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.如图，在三棱柱中，已知点在棱上，且，点在线段上，且，且，.求证：（1）平面平面；（2）平面.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）先证明平面.因为平面，所以平面平面.（2）取中点，连结，，先证明四边形是平行四边形，再证明和平面.【详解】解:（1）因为，又，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）取中点，连结，，因为，所以为线段的中点，为中点，所以，且.在三棱柱中，，且.又，所以为线段的中点，故，且.所以，且，于是四边形是平行四边形，从而.又平面，平面，故平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.20.椭圆：的长轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：交椭圆于，两点，点在椭圆上，且不与、两点重合，直线，的斜率分别为，.求证：，之积为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，，，解方程即得椭圆方程为.（2）（2）把代入，有，设，，则：，.再计算化简得证.【详解】解：（1）由题意，，，∴，，，即椭圆方程为.（2）把代入，有，设，，则：，.，..故，之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递