上海市南洋模范中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市南洋模范中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合M=2,0,xyyxN=2|lg2xyxx,则MN=_______.【答案】(1,2)【解析】M=2,0xyyx=1,yyN=2|lg(2xyxx={|02}xx,所以MN={|12}xx.2.三阶行列式351236724中元素5的代数余子式的值为________.【答案】34【解析】【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．【详解】由题意，可知：（﹣1）1+2•2674[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()yfx的图像过点12(,)22，则4log(2)f的值为________.【答案】14【解析】【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．【详解】由设f（x）＝xa，图象过点（12，22），∴（12）a22，解得a12，∴log4f（2）＝log412124．故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．4.已知向量1,3a，3,bm且b在a上的投影为3，则a与b角为______.【答案】【答案】π6.【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义求得m的值，然后再求出两向量的夹角．【详解】设a，b的夹角为，则||236ababcos，又1,33,33abmm，∴336m，解得3m．∴632||223abcosab，又0，∴6．故答案为：6．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题．5.满足不等式arccos2arccos(1)xx的x的取值范围为________【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为1,1，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121xxxx，求解不等式有：11220213xxx，综上可得，不等式的解集为11,32.6.函数log(3)1(01)ayxaa且的图像恒过定点A，若A在直线10mxny，其中,0mn均大于，则12mn的最小值_________【答案】8【解析】试题分析：由已知可得定点2,1，代入直线方程可得21mn，从而1212()(2)mnmnmn444248nmnmmnmn.考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}na的公比为q，若{}na的各项和等于q，则首项1a的取值范围是____.【答案】1(2,0)(0,]4U【解析】【分析】由题意易得11aqq，可得a1＝﹣（q12）214，由二次函数和等比数列的性质可得．【详解】∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且11aqq，∴a1＝q（1﹣q）＝﹣q2+q＝﹣（q12）214，由二次函数可知a1＝﹣（q12）21144，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：﹣2＜a114且a1≠0故答案为：1(2,0)(0,]4U【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()fxx，[1,2]x的反函数为1()fx，则121[()](2)fxfx的值域是____.【答案】[12,4]【解析】【分析】依题意，f﹣1（x）x，（x∈[1，4]），得函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x2x，由y＝x2x为[1，2]上的增函数，可得y的值域．【详解】依题意，f﹣1（x）x，（x∈[1，4]），所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x2x，其中x满足14124xx，即1≤x≤2，又y＝x2x为[1，2]上的增函数，所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）的值域是[12，4]，故答案为：[12,4]【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C为点(2cos1,2sin1)P的轨迹，直线20xty与曲线C交于A、B两点，则||AB的最小值为________.【答案】22【解析】【分析】由2121xcosysin消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，得曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121xcosysin消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，∴曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，又直线20xty恒过点D2,0，且此点在圆内部故当CDAB时|AB|最短，∴|AB|＝224CD22，故答案为：22．【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}na满足：22222233363645sincoscoscossinsin1sin()aaaaaaaa，公差(1,0)d，若当且仅当9n时，数列{}na的前n项和nS取得最大值，则首项1a的取值范围是________.【答案】43(,)32【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【详解】由22222233363645sinacosacosacosasinasinasinaa1，得：336363636452cosacosacosasinasinacosacosasinasinasinaa1，即336364521cosacosaacosaasinaa，由积化和差公式得：3634511222221cosacosacosasinaa，整理得：63636345451122222cosacosasinaasinaasinaasinaa1，∴sin（3d）＝﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d2，d6．由2111116221212nnnnnSnadnanan．对称轴方程为n1612a，由题意当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴1176192122a＜＜，解得：14332a＜＜．∴首项a1的取值范围是4332，．故答案为：4332，．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.fx是定义在R上的奇函数，当0x时，121,0212,22xxfxfxx，则函数1gxxfx在6,上的所有零点之和为__________．【答案】8【解析】由题意，1fxx，yfx与yx都是奇函数，第一象限图象如图，当8x时，两图象无交点，所以6,0与0,6对称，零点之和为0，6,8上，零点为8，所以，6,上的零点之和为8.12.在数列na中，11a，1221332?32(2)nnnnnaan，nS是数列1nan的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnSmmNSm恒成立时，mn的所有可能取值为.【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)nnnnnaan得1212213(1)3(1)332?32(2)nnnnnnnaan，即1213(1)3(1)2(2)nnnnaan，所以数列13(1)nna是以1113(1)2a为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nnan，由1123nnan，12(1)133(1)1313nnnS，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mmmnmnnmnnmmnmmnmmnnmSmmmmSmmmm即(3)32330(3)33nmmnmmm，当3m时，该不等式不成立，当3m时有233330133mnnmm恒成立，当1m时，19322n，1n，这时1mn，当2m时，1321n，1,2n，这时2mn或4mn，当4m时，233330133mnnmm不成立，所以mn的所有可能取值为1或2或4.考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列13(1)nna是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.二.选择题13.已知Ra，则“1a”是“11a”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选：A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6fxx，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是()A.在[,]42上是增函数B.其图象关于直线4x对称C.函数是奇函数D.当[0,]3x时，函数的值域是[1,2]【答案】D【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos2662gxxxx，A：[,]42x时，2[,]2x，是减函数，故A错误；B：()2cos()042g，故B错误；C：()gx是偶函数，故C错误；D：[0,]3x时，22[0,]3x，值域为[1,2]，故D正确，故选D．考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()yAx的图象和性质．15.已知nN，xR，则函数22()lim2n