上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）

华东师大二附中2019届高二数学期中考试试卷一、填空题：1.设是平面外两条直线，且，那么是的________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】判断由能否得到，再判断由能否得到【详解】证明充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；证明必要性：若，结合，且是平面外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件.故填“充分不必要”【点睛】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题.2.已知直线及平面，下列命题中：①；②；③；④.所有正确命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】①直线还可能在面内，②直线与平面也可能平行,③直线还可能在面内,④正确.【详解】①直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误②直线与平面可能垂直，也可能平行，所以错误.③直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误.④可以得到直线与平面垂直，所以正确.【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.3.地球北纬圈上有两地分别在东经和处，若地球半径为，则两地的球面距离为________.【答案】【解析】【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【详解】地球表面上从地（北纬，东经）到地（北纬，西经）两地都在北纬上，对应的的纬圆半径是,经度差是所以所以球心角是所以两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．4.如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________.【答案】【解析】【分析】根据图形很容易找到球的半径，再计算体积得到答案.【详解】球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，所以单位立方体的棱切球的半径为所以球的体积为【点睛】考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．5.若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，因为平面，所以，所以，所以截球所得的圆的半径，所以球的半径，所以球的表面积为.点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键.6.如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.【答案】5【解析】由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.答案：5.7.下图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】画出立体图形，通过底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，求出高，再求出四棱锥的体积.【详解】根据平面图形可得四棱锥侧棱长度为2，底面正方形的边长为2，其对角线长度为，在底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，高的长度为所以四棱锥的体积为【点睛】本题考查平面图形与立体图形的关系，求四棱锥的体积，属于简单题.8.有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，，则这块菜地的面积为________.【答案】【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．【详解】在直观图中，，，，原来的平面图形上底长为，下底为，高为平面图形的面积为【点睛】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．属于简单题.9.四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有________个.【答案】3【解析】【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【详解】将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角.【点睛】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题.10.如图1，平面中的角的内角平分线分面积所成的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥（如图2）中，平面平分二面角且与相交于，则类比的结论是____________.【答案】【解析】二、选择题：11.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A.三点确定一平面B.不共线三点确定一平面C.两条相交直线确定一平面D.两条平行直线确定一平面【答案】B【解析】【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B项.【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.12.正方体被平面所截得的图形不可能是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.13.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是A.B.C.三棱锥的体积为定值D.【答案】D【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。14.由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积【详解】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有5个单位立方体.则几何体的体积最小值为5故选A项【点睛】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题.三、解答题：15.在正方体中，分别是的中点.求证：空间．．四边形是菱形.【答案】证明见解析【解析】【分析】取中点，连接，证明四边形，都是平行四边形，从而得到四边形是平行四边形，再证明，得到空间四边形是菱形.【详解】证明：取中点，联结，则，四边形是平行四边形，，∴四边形是平行四边形，，，∴四边形是平行四边形，又,,，空间四边形是菱形.【点睛】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题.16.在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与的夹角；（3）求与底面所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）对三棱锥换底，换成以为顶点，为底的三棱锥，求出底面的面积和对应的高，得到所求的体积.（2）找到异面直线与所成的角，在内由余弦定理求出.（3）取中点，连接，通过证明平面，找到即为与底面所成的角，求解即可.【详解】（1）（2），或其补角即为异面直线与所成角，在，，，，异面直线与所成角为（3）取中点，连接，且平面，平面，即为与底面所成的角，,，与底面所成的角的大小为.【点睛】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题.17.如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）取中点，通过线线垂直证明平面，从而得到（2）取中点，中点，连接，则即为二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.（3）利用等体积法，求出到平面的距离及的长度，从而表示出关于的函数，求出最大值.【详解】（1）取中点，联结和，∵，为中点，又为中点，，，，同理，平面，；（2）取中点，中点，连接，则，，即为二面角的平面角，设，则，，即二面角的余弦值为（3）设，到平面的距离为，则，由等体积法，，即，可得，而，∴，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为.【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题.18.平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体中棱两两垂直，那么称四面体为直角四面体.请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中表示斜边上的高，分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形直角四面体条件结论1结论2结论3结论4结论5【答案】证明见解析【解析】【分析】结论1：分别表示，然后证明结论2：在中利用等面积法，表示出高，然后分别表示，再证明结论3：利用结论2中得到的的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用进行证明结论5：将直角四面体补形成为以为长、宽、高的长方体，再进行证明.【详解】记的面积依次为，平面与所成角依次为，点到平面的距离为分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为，直角三角形直角四面体条件结论1结论2结论3结论4结论5证明：设，过作，垂足为，联结，过作，垂足为，易证：，平面，则，结论1：，在中，，s；结论2：，∴。同理，，∴；结论3：∵，∴，又，∴结论4：，∴.从而，即；结论5：将直角四面体补形成为以为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即.【点睛】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题.