上海市格致中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市格致中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.直线31xy的一个法向量可以是________.【答案】(1,3)【解析】【分析】利用直线的法向量的意义即可得出．【详解】由直线方程x＝3y+1，可得斜率k13．∴直线的法向量可以取（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题．2.函数2log(3)yx的反函数为________.【答案】1()23xfx【解析】【分析】利用反函数定义直接求解即可．【详解】∵2log(3)yx∴32yx，即23yx∴函数2log(3)yx的反函数为1()23xfx故答案为：1()23xfx【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．3.已知7(1)ax的展开式中，含3x项的系数等于280，则实数a________.【答案】2【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值．【详解】解：∵（1+ax）７的展开式为Tr+1rC７•（ax）r，令r＝3，可得含x3项的系数等于a3•3C７280，解得a＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4.已知4sin5x，(,)2x，则tan()4x的值等于________.【答案】17【解析】【分析】由题意结合同角基本关系式可得4tan3x，进而利用两角和正切公式可得结果.【详解】∵4sin5x，(,)2x，∴4cos,tan533xx，∴41tantan134tan()4471tantan143xxx，故答案为：17【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及同角基本关系式与两角和正切公式，考查计算能力，属于常考题型.5.已知双曲线22221xyab（0a，0b）满足102ab，且双曲线的右焦点与抛物线243yx的焦点重合，则该双曲线的方程为________.【答案】2212yx【解析】【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线243yx的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．【详解】解：由102ab，可得20ab，∴2ba∵双曲线的右焦点与抛物线243yx的焦点重合，∴c3，∵c2＝a2+b2，∴a＝1，b2，∴双曲线的方程为2212yx．故答案为：2212yx．【点睛】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．6.某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为3，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________.【答案】27【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD，AEFD为直角梯形，且EF＝BC＝3，DC＝DF＝3，AD＝6．再由梯形面积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD，AEFD为直角梯形，且EF＝BC＝3，DC＝DF＝3，AD＝6．∴梯形的面积之和为21363272．故答案为：27．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.已知集合{|12}Axx，2{|40}Bxxax，若AB，则实数a的取值范围是________.【答案】(,4]【解析】【分析】由题意可知：240xax≥在12x上恒成立，参变分离，转求最值即可.【详解】由题意可知：240xax≥在12x上恒成立，即4axx在12x上恒成立，而4424xxxx，当且仅当2x时等号成立，∴4a故答案为：(,4]【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常考题型.8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.【答案】47【解析】【分析】基本事件总数n49C126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m112121211234234234CCCCCCCCC72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，基本事件总数n49C126，其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，所以包含的基本事件个数m112121211234234234CCCCCCCCC72，∴其中三种颜色的球都有的概率是p7241267mn．故答案为：47．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.设复数20192534i2019zz满足（i是虚数单位），则||z________.【答案】5【解析】【分析】设zi,,ababR，利用模的运算性质，即可得到结果.【详解】设zi,,ababR∵20192534i2019zz，∴20192534i2019zz，即2222520192019252019abab2222222254038201920195020196252019aabaab，222222252520192019625abab22222520196255201925ab即||5z故答案为：5【点睛】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.ABC△中，角,,ABC的对边分别为,,abc，重心为G，若30,3aGAbGBcGC则A________.【答案】π6【解析】【分析】根据G为三角形重心，化简已知等式，得到33abc，再利用余弦定理求出cosA，进而角A可求．【详解】由ABC△的重心为G，可得0GAGBGC，则GCGAGB，代入30,3aGAbGBcGC可得33033acGAbcGB.显然,GAGB不共线，所以33033acbc，则33abc.由余弦定理可得222222211333cos22323cccbcaAbcc，则π6A.【点睛】本题考查平面向量基本定理和余弦定理.ABC△的重心G满足0GAGBGC，这个基本结论要牢记并灵活运用.11.设定义域为(0,)的递增函数()fx满足：对任意的(0,)x，均有6()fxx，且6(())5ffxx，则(10)f________.【答案】275【解析】【分析】由已知可得6()fxx为一常数，进而可得函数的解析式，将x＝10代入可得答案．【详解】解：∵对任意的(0,)x，均有6(())5ffxx，且()fx在(0,)上递增，故6()fxx＝k，即6()fxkx，∴6()5fkkk，解得：6k，或1k又6()fxx∴6k，即6()6fxx∴627(10)6105f故答案为：275【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数解析式的求法，函数求值，其中根据已知得到函数的解析式，是解答的关键．12.定义：若函数()fx图像上的点到定点A的最短距离小于3，则称函数()fx是点A的近点函数，已知函数2()2xafxx在(2,)上是增函数，且是点(0,4)A的近点函数，则实数a的取值范围是________.【答案】3(,4)2【解析】【分析】由函数2()2xafxx在(2,)上是增函数，可知4a＜；由函数()fx是点(0,4)A的近点函数，可得32a＞，从而得到结果.【详解】由题意可得：24()2,22xaafxxx又函数2()2xafxx在(2,)上是增函数，∴4a＜求出函数的导函数24()2afxx，设函数()fx图像上离A最近的点004,22aPxx则02004242412axaxx，令0402amx＜，即002+m12mxx，2200220,mmxx解得：0m=2x（舍）或0x∴042ax=0x，即20042axx∵函数()fx是点(0,4)A的近点函数，∴22004292axx＜220029xx＜，即2002450xx＜，∴2450a＜∴32a＞综上可得：3(,4)2a故答案为：3(,4)2【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查了转化能力与运算能力，属于难题.二.选择题13.曲线的参数方程为2232{(05)1xttyt，则曲线是（）A.线段B.双曲线的一支C.圆弧D.射线【答案】A【解析】由21ty代入232xt消去参数t得3(1)2350xyxy即又05277,124txy所以表示线段。故选A14.已知数列{}na的前n项和nnSpq（0p，1p），则“1q”是“数列{}na为等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由nnSpq可得：1,11,2nnpqnappn，结合等比数列定义即可得到结果.【详解】解：∵nnSpq，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（npq）﹣（1npq）＝11npp，∴1,11,2nnpqnappn又0p，1p∴当n≥2时，数列{}na为等比数列，要使数列{}na为等比数列，则21apa即1ppppq，∴1q；反之1q，显然11nnapp，又0p，1p∴数列{}na为等比数列，∴“1q”是“数列{}na为等比数列”的充要条件故选：C【点睛】本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．15.若[0,1]x，且使222log(22)2xx为整数，则满足条件的实数有（）个A.15B.14C.13D.12【答案】B【解析】【分析】明确函数的单调性，从而得到整数的个数.【详解】令222log(22)2xfxx，[0,1]x，显然fx为增函数，且05f，118f，∴fx的值域为5,18，其中共有14个整数，∴满足条件的实数有14个故答案为：B【点睛】本题考查函数的单调性，考查推理能力与转化能力，属于中档题.16.定义域是[,]ab上的连续函数()yfx图像的两个端点为(,())Aafa、(,())Bbfb，(,)Mxy是图像()yfx上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||MN的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）A.sin3yxB.2yx=C.2yxD.1yxx【答案】D【解析】【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【详解】当y＝f（x）＝sin3x时，端点A（1，32），B（2，32），直线AB的方程为y32，故|MN|＝sin3x32，当x32时，|MN|的最大值为132，即该函数的“曲径”为132，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为