上海市大同中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

上海市大同中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.填空题1.求值：arccos0________【答案】2【解析】【分析】设arccos0x,x∈[0,]，直接利用反三角函数求解.【详解】设arccos0x,x∈[0,]，所以cos0,2xx.故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.一个扇形的弧长和面积都是5，则这个扇形的圆心角大小是________弧度【答案】52【解析】【分析】设扇形的半径为R,圆心角是，再根据已知得方程组，解方程组即得解.【详解】设扇形的半径为R,圆心角是，所以15=525RR,所以5=2.故答案为：52【点睛】本题主要考查扇形的面积和圆心角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.函数arcsintan2yxx的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444【解析】【分析】解不等式11,2,2xxkkZ即得解.【详解】由题得11,2,2xxkkZ所以x∈[1,)(,)(,1]4444.故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444故答案为：[1,)(,)(,1]4444【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.函数tan()3yx的周期为________【答案】【解析】【分析】由题得函数tan()3yx的最小正周期为π，再利用图像得到函数tan()3yx的周期.【详解】由题得函数tan()3yx的最小正周期为π，函数tan()3yx就是把函数tan()3yx的图像在x轴上的保持不变，把x轴下方的图像对称地翻折到x轴上方，如图，所以函数tan()3yx的周期为π.故答案为：π【点睛】本题主要考查函数的周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.函数sin()yAx（0A，0）的振幅是3，最小正周期是25，初相是2，则它的解析式为________【答案】3sin(52)yx【解析】【分析】根据函数的性质求出,,Aw，即得函数的解析式.【详解】因为函数sin()yAx（0A，0）的振幅是3，所以A=3.因为函数的最小正周期是25，所以22=,55ww.因为函数的初相是2，所以=2.所以函数的解析式为3sin(52)yx.故答案为：3sin(52)yx【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中11223781OAAAAAAA，记1OA，2OA，3OA，…，8OA的长度构成的数列为*,8nanNn，则na的通项公式na__________.*,8nNn【答案】nan【解析】根据题意：OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1∴2211nnaa，∴2na是以1为首项，以1为公差的等差数列∴2,nnanan.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.已知数列{}na中，12a，25a，212nnnaaa，则100a________【答案】299【解析】【分析】由212nnnaaa得数列是等差数列，再求出等差数列的通项公式，再求解.【详解】因为212nnnaaa，所以数列{}na是等差数列，因为12a，25a，所以公差3d.所以2(1)331nann，所以1003001299a.故答案为：299【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.在ABC中，3,3sin2sinACAB，且1cos4C，则AB____________【答案】10【解析】【分析】根据正弦定理求出BC，再利用余弦定理求出AB.【详解】由正弦定理可知：sinsinACBCBA，又3sin2sinABsin22sin3ACABCACB由余弦定理可知：22212cos94232104ABACBCACBCC10AB本题正确结果：10【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.关于x的方程(sin1)(cos1)0xxm恒有实数解，则m的取值范围是________【答案】322[0,]2【解析】【分析】先化简原方程得sincossincos=1xxxxm，再换元得到22121==122ttttm，再利用方程有解得到m的取值范围.【详解】由题得sincossincos10xxxxm，所以sincossincos=1xxxxm，设sincos2sin(),[2,2]4xxxtt所以21sincos2txx，所以22121==122ttttm，由题得221,[2,2]2ttyt的值域为221[1,]2，因为关于x的方程(sin1)(cos1)0xxm恒有实数解，所以221112m，所以22302m.故答案为：322[0,]2【点睛】本题主要考查方程的解的问题，考查同角的正弦余弦的关系和三角函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.10.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间两节欲均容各多少？”其意为：“现有一根9节的竹子，自上而下的容积成等差数列，下面3节容量为4升，上面4节容积为3升，问中间2节各多少容积？”则中间2节容积合计________升【答案】4722【解析】【分析】根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为1a，2a，，na，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求得首项和公差，再计算中间两节4a、5a的值，再求中间2节总容积.【详解】根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列，设至下而上各节的容量分别为1a，2a，，na，公差为d，分析可得：123678943aaaaaaa，解可得19566a，766d，则49574831666666ad（升)，59567141666666ad（升)．故中间两节的总容积为813471+1=2=66662222.故答案为：4722【点睛】本题考查等差数列的前n项和的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二.选择题题11.已知数列{}na是等差数列，数列{}nb分别满足下列各式，其中数列{}nb必为等差数列的是（）A.||nnbaB.2nnbaC.1nnbaD.2nnab【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】设数列{}na的公差为d，选项A,B,C,都不满足1nnbb同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D，1112222nnnnnnaaaadbb,所以数列{}nb必为等差数列.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.下列等式中正确的是（）A.cos(arccos)33B.1arccos()1202C.arcsin(sin)33D.2arctan24【答案】C【解析】【分析】利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,cosarcx中x[1,1],而cos3arc是错误的，所以该选项错误；选项B,12arccos()23,所以该选项是错误的；选项C,3arcsin(sin)arcsin(),323，所以该选项是正确的；选项D,2arctan1,arctan424,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的.故选：C【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13.若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx的图像重合，则的最小值为A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数tan()(0)4yx的图像向右平移6个单位得tan[()]tan()6464yxx，所以,646kkZ16,2kkZ，所以得最小值为12。14.定义函数sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx，下列命题中正确的是（）A.该函数的值域是[1,1]B.该函数是以为最小正周期的周期函数C.当且仅当2xk（kZ）时，该函数取到最大值D.当且仅当32+2+2kxk（kZ）时，()0fx【答案】D【解析】【分析】()fx为分段函数，由已知分别解出自变量的范围，从而求得()fx的值域为2[2，1]，()fx取得最大值1时，得22xk或2()xkkZ，求解()fx的最小正周期，利用定义()()fxTfx来判断，计算出不是()fx的最小正周期，经过验证第四个命题是对的．【详解】sincosxx…，522,44kxkkZ剟sincosxx，322,44kxkkZ5sin,[2,2]44(),3cos,(2,2)44xxkkfxkZxxkk，()fx的值域为2[2，1]，所以选项A是错误的.当22xk或2()xkkZ时，()fx取得最大值为1．所以选项C是错误的.(0)1,()0,ff()fx不是以为最小正周期的周期函数，所以选项B是错误的.当()0fx时，322()2kxkkZ所以选项D是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查求解函数的值域、周期、最值等知识，是三角函数的基础知识，应熟练掌握．三.解答题15.已知arctan2，求cos2和sin()3的值.【答案】35-，251510【解析】【分析】先根据已知求出21sin=,cos55，再求出cos2和sin()3的值.【详解】由题得tan2,(0,)2，所以21sin=,cos55，所以213cos2=2cos12155，21132+32515sin()=+==322105525.【点睛】本题主要考查反三角函数和三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16.若sinsin()sin2CBAA，试判断△ABC的形状.【答案】等腰或直角三角形【解析】【分析】由题得sinAB)sin()sin2BAA（，再利用和角差角的正弦和二倍角的正弦化简即得解.【详解】因为sinsin()sin2CBAA，所以sinAB)sin()sin2BAA（,所以2cossin2sincos,ABAA所以cos(sinsin)0ABA,因为cos0sin,2ABAAAB或sin或,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.【点睛】本题主要考查诱导公式，考查和角差角的正弦和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的