结构几何非线性有限元分析与应用

结构几何非线性有限元分析与应用丁泉顺副研同济大学桥梁系一、非线性有限元方法1、概述：–结构几何非线性问题是连续介质力学中固体力学的一个分支–几何线性与非线性问题的区别：线性问题假设结构在变形前后的受力特征是一样，而非线性问题则考虑结构在变形之后的受力特征发生变化–非线性问题的分类：大变位（大位移大转动）小应变理论，大应变理论–从理论方法上来说，结构几何非线性问题的研究已经非常完善–杆系结构几何非线性问题2、非线性分析方法–按结构参考形态：•完全的拉格郎日方法（T.L.TotalLagrange）•更新的拉格郎日方法（U.L.UpdatedLagrange）•欧拉方法（结构分析中不常用）–引入随旋坐标系：•CR－TL（Corotational－TL）•CR－UL（Corotational－TL）2、分析方法(cont’l)2、分析方法(cont’l)O00yYyXxxXOZY图1平面梁单元变形图图2各坐标系统示意图0ijiijj12x1x2x3sx11sx31x31sx21sx32sx12sx32x31sx22sx323、非线性问题的有限元求解•Newton-Raphson迭代方法•修正Newton-Raphson迭代方法0)()(0PFsdKdPT03、非线性问题的有限元求解(Cont’l)Newton-Raphson迭代方法修正Newton-Raphson迭代方法图4.1Newton-Raphson法计算示意(第一加载步)图4.2修正的Newton-Raphson法计算示意(第一加载步)图4.1Newton-Raphson法计算示意(第一加载步)3、非线性问题的有限元求解(Cont’l)22222222400030000300403000030000000000000003036000303600300036030003600000000000000003040003000300040300000000000000030360003036003000360300036000000000000030lllllllllllllllllllllllllNKeG－－－－(N为轴向拉力)(3)4、小应变时单元内力增量计算–平面梁单元的变形)()(tLttLux，)(0ii，)(0jjO00yYyXxxXOZY图1平面梁单元变形图图2各坐标系统示意图0ijiijj12x1x2x3sx11sx31x31sx21sx32sx12sx32x31sx22sx32图4.5随旋坐标系下从ti时刻到ti＋t时刻的变形情况4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)–空间梁单元的变形（详细情况见论文）O00yYyXxxXOZY图1平面梁单元变形图图2各坐标系统示意图0ijiijj12x1x2x3sx11sx31x31sx21sx32sx12sx32x31sx22sx324、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)–有限转动公式(见数学手册):图3(a)矢量转动总图图3(b)垂直于转动轴的平面QPNVRnOn)(RnnR'RNPQVVQNVONR'ΦRnΦRnnRRnnsin)(cos)]([)(4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)图4(a)t+t时刻端截面(节点1)位置图图4(b)单元随转坐标系的确定sttx311xttsttx11sttx21sttx211ettstte11*1*11端截面2xtt131sttx121sttx3xtt122sttx132sttx3ett2ett*222321112121112122sttx1xtt二、数值算例1、坦拱的大挠度分析ZXbhY图5坦拱在集中荷载下的大挠度图6450弯梁大位移分析PHhRw0LR=133.114h=0.1875b=1.0L=34.0H=1.09=7.33970A=0.1875I=0.0005493E=107=0.2RR450uvwPrst固定端R=100.0b=1.0h=1.0=0.0E=1071、坦拱的大挠度分析（Cont’l）–单元划分：将拱的一半分18个单元；–每步加载量为P=2.0；表1坦拱无量纲拱顶位移w/H的比较Tab.1Comparisonofnondimensionaldisplacementsatthetopofarch加载步51015171820Ansys0.035220.086550.18390.29541.60731.6303ADINA0.035250.086770.18530.30561.60811.6316本文解0.035250.086750.18520.30441.60771.63082、45弯梁空间弯扭大位移分析ZXbhY图5坦拱在集中荷载下的大挠度图6450弯梁大位移分析PHhRw0LR=133.114h=0.1875b=1.0L=34.0H=1.09=7.33970A=0.1875I=0.0005493E=107=0.2RR450uvwPrst固定端R=100.0b=1.0h=1.0=0.0E=1072、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）–单元划分：将梁划分为8个单元；–每步加载量为P=10.0；表2梁自由端变形前后的无量纲位置坐标Tab.2PositionofthefreeendofcurvingbeamK=0(初始态)K=3.6(30个加载步)K=7.2(60个加载步)X/RY/RZ/RX/RY/RZ/RX/RY/RZ/RAnsys0.2930.7070.00.2230.5890.4020.1570.4710.536ADINA0.2930.7070.00.2220.5850.4040.1570.4680.536本文解0.2930.7070.00.2230.5880.4020.1570.4720.5352、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）020406080100020406080100120140160动力荷载300Pt(s)10ADINA结果NFBA结果线性结果梁端竖向位移时间t(s)图5.13梁端位移非线性动力响应结果的比较