浅谈极限的求解方法毕业论文.

浅谈函数极限求解方法学生：陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要：极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手:1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述.对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limitisthebasisofmathematicalanalysis,thebasicconceptsofmathematicalanalysisofexpression,canbeusedtodescribethelimitasafunctiondefinitionderivativeatsomepoint,thedefinitionofthedefiniteintegral,thedefinitionofpartialderivative,thedefinitionofdoubleintegrals,tripleintegraldefinition,infiniteseriesofdefinitionsareusedtodefinethelimitsofthelimitisthebasictooltostudythelimitsofmathematicalanalysisisamainthemethroughoutthemathematicalanalysistolearnthelimitsfromthefollowingtwoaspectsistoinvestigatethefunctionifthereisalimit.Ifthereisalimitfunction,thenconsiderhowtocalculatethislimitthisarticleisthesecondquestionthatundertheconditionsoftheexistenceofthelimit,howtofindthelimitsarereviewedforasimplecalculationofthelimitoftheuse.definethelimitsoftheevaluationortheuseoffourevaluationalgorithmsarefeasible,butforamorecomplicatedlimitcalculations,suchasFindincoslimxwhenexxxvaluesarenotdirectlyusingthegeneraldefinitionortheorem,evenwiththeHospital'sRuleismorecomplicated,however,Taylorshowsthecalculationismuchsimpler,whichisgenerallydescribedwhenthelimitisevaluatedtosolvetheproblem,wemustuseeffectivetargetedmethodofcalculationforeachspecificissuesbutalsogoodatfindingandusingitsfeaturestosimplifyprocedures.Thetraditionalmethodofcalculatingthelimitofnolessthanadozen,butwhencalculatingthelimitsspecifictodifferentcharacteristics,whetherusingeithermethod,alotofpeoplealwaysfeelunabletostart.Thesemethodswillonlybesummarized,sothatwecanchoosetheappropriatemethodofcalculationformulasfordifferentcharacteristics,andthussimplifythecalculation关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式；单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理Keywords：Limit;ultimatelimitsofnature;Luo'sRule;Taylorformula;monotonouslimitedlaw;integralmeanvaluetheorem;Lagrangemeanvaluetheorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明．到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．极限法的完善与微积分的严格化密切联系．在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”，相互转化的辩证关系．到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量．”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖．事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的．1预备知识极限的求解,是我们学习教学上存在的比较普遍问题,往往学生学习时感到枯燥无味,或视为畏途,于是学生提出这样问题:“我们究竟要知道极限有哪些求解方法，而教师的回答往往是这样:“今后你们学完大学再做总结就会了解这一点,因为它跟高等数学有密切联系.”这种回答不能令人满对于极限的求解不了解或了解的不全面是我们极限思想方法是很多人在学习极限后要面临的问题，下面我就对我总结出的一些极限的求解方法做出说明以及详细的证明透解。2极限的十几种求解方法数学极限是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要解题方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。2.1几种关于分式的求极限问题的方法说明：关于分式的极限的求解方法我一共总结出以下几点2.1.1．约去零因子求极限说明先要明白什么是零因子：在求极限时遇到的、极限值为0、而本身不为零的因子就是零因子。例如当x→1时，x-1就是一个零因子。所谓约零因子，则是在一个分式当中实施“约去”。例1：求极限11lim41xxx说明：表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。解：6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx=42.1.2．分子分母同除求极限方法说明当x趋于无穷（可正可负）时，看分子分母x的最高次的次数①分子次数小于分母次数，极限为0②分子次数等于分母次数，极限为最高次系数的比值。如第一个例子。③分子次数大于分母次数，极限不存在2.00型当x趋于0时看x的最低次数①分子次数高于分母次数，极限为0②分子次数等于分母次数，极限为分子分母最低次系数的比值（如第二个例子）③分子次数低于分母次数，极限值不存在。例2：求极限13lim323xxxx说明型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。解3131lim13lim311323xxxxxxx注(1)一般分子分母同除x的最高次方；(2)nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim0110112.1.3．分子(母)有理化求极限说明对于一个分式来说，若分子是一个无理式组成的代数式，采取一些方法将其化为有理式的过程称为分子有理化分子有理化可以通过统一分子，实现一些在标准形式下不易进行的大小比较，有时也可以大大简化一些乘积运算。例3：求极限)13(lim22xxx说明分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。解13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx0132lim22xxx例4：求极限30sin1tan1limxxxx解xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim303041sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx注本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键。2.2用定义求解极限(1)利用极限的定义求极限。定义:设函数)(xf在［b，＋∞）上有定义，若存在常数A，对任给0，存在0N,当Nx时，都有Axf)(，则称数A为函数)(xf当x时的极限，记作Axfn)(lim，或)()(xAxf.1Axfn)(lim的定义:数列}{na本身就是一个定义在自然数集上的函数，即)(nfan，若数列}{na的极限是A，即Anfn)(lim.用N语言叙述就是，任给0，存在N，当Nx时，都有Anf)(｜.这里的n是大于N的一切自然数，而x时)(xf的极限与n时)(xf的极限不同之处x取的是实数，n取的是自然数.因此我们可以仿照数列极限的定义，给出x时，函数)(xf极限的定义.例：设.2,22,21,,1,222xxxxxxxxf用定义法求解xf在3,2,1x时的极限。解：（1）1x时xf的极限1x时，对11..,2,0xts时有：.441213131222222