陕西省西安市第一中学2018届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

市一中大学区2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．设集合|1Axx，集合2Ba，若AB，则实数a的取值范围是（）．A．(,1]B．(,1)C．[1,)D．[1,)【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算．因为|1Axx且AB为空集，所以21a≤，即1a≤，所以当1a≤时，满足A与B的交集为空集的条件．故选A．2．已知为i虚数单位，若复数1i()1iazaR的虚部为3，则||z（）．A．5B．13C．23D．10【答案】C【解析】因为1i(1i)(1i)1(1)i111i2222iaaaaaaz，所以132a，所以5a，所以23iz，所以22(2)(3)13z．故选C．3．已知命题:pxR，12(2)0x，则命题p为（）．A．0xR，120(2)0xB．xR，12(1)0xC．xR，12(1)0x≥D．0xR，120(2)0x≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题，即命题pxR，20x，的否定是：:pxR，20x≤．故选C．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）．是否S=4i=1i=9S=22Si=i+1输出S结束开始A．1B．23C．32D．4【答案】D【解析】i1，1S；i2，23S；i3，32S；i4，4S；i5，1S；；i8，4S；i9，结束循环，输出S的值是4．故选D．5．设55log4log2a，2lnln33b，1lg5210c，则a，b，c的大小关系为（）．A．abcB．bcaC．cabD．bac【答案】A【解析】解：∵13log20a，112211loglog132b，0.30110122c，∴acb．故选A．6．若函数()fx满足1(1)()2fxfx，则()fx的解析式在下列四式中只有可能是（）．A．2xB．12xC．2xD．12logx【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式．由已知该函数具有性质1(1)()2fxfx，将此运用到四个选项中：A项，1(1)2xfx，1()24xfx，不符合题意，故A项错误；B项，3(1)2fxx，11()224xfx，不符合题意，故B项错误；C项，(1)11(1)22()22xxfxfx，符合题意，故C项正确；D项，12(1)log(1)fxx，112211()loglog22fxxx，不符合题意，故D项错误．故选C．7．函数exyx和图象是（）．A．xyOB．yOxC．yOxD．yOx【答案】C【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x，y，则[0,2]xy的概率是（）．A．1ln22B．32ln24C．1ln22D．12ln22【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln)2d11ln2442xxSxPS阴影正方形．【注意有文字】故选C．xyO412343219．设实数x，y满足22010210xyxyxy≤≥≤，则11yx的最小值是（）．A．5B．12C．12D．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000xyxy≥≤≥所表示的区域如图所示11yzx表示区域中的点到点(1,1)的斜率，故原点到点(1,1)的斜率最大．故选B．10．若将函数π()2sin23fxx的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）．A．5π12B．π3C．2π3D．5π6【答案】A【解析】把该函数的图象右移个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin223yx，又所得图象关于y轴对称，则π3π22πk，kZ，∴当1k时，有最小正值是5π12．故选A．11．设函数266,0()34,0xxxfxxx≥，若互不相等的实数1x，2x，3x满足123()()()fxfxfx，则123xxx的取值范围是（）．A．11,63B．2026,33C．2026,33D．11,63【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0xxxfxxx≥的图象，如图，xOy65432143211234564321不妨设123xxx，则2x，3x关于直线3x对称，故236xx，且1x满足1703x；则123xxx的取值范围是：12376063xxx，即12311,63xxx．故选D．12．已知定义在(0,)上的函数()fx，满足（1）()0fx；（2）()()2()fxfxfx（其中()fx是()fx是导函数，e是自然对数的底数），则(1)(2)ff的范围为（）．A．11,2eeB．211,eeC．(e,2e)D．3(e,e)【答案】B【解析】构造函数()()exfxgx，(0,)x，则2()e()e()()()(e)exxxxfxfxfxfxgx，由已知()()fxfx得()0gx在(0,)上恒成立，则函数()gx在(0,)上递增，所以(1)(2)gg，即2(1)(2)eeff，又因为()0fx，所以根据2(1)(2)eeff有2(1)e(2)eff，即(1)1(2)eff，再构造函数2()()(e)xfxhx，(0,)x，2242()(e)()2(e)()2()()(e)(e)xxxxfxfxfxfxgx，由已知()2()fxfx，所以()0hx在(0,)，则函数()hx在区间(0,)上单调递减，所以(1)(2)hh，即24(1)(2)eeff，又因为()0fx，所以根据24(1)(2)eeff有24(1)e(2)eff，即2(1)1(2)eff，所以21(1)1e(2)eff．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027256472927__________．【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295310991364355331．14．已知423401234(23)xaaxaxaxax，则2202413()()aaaaa__________．【答案】1【解析】令1x，得401234(23)aaaaa；令1x，得401234(23)aaaaa；两式相加得22024130123402413()()()()aaaaaaaaaaaaaaa444(23)(23)(1)1．15．一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n行的首尾两数均为21n，设第(2)nn≥行的第2个数构成数列na，则有323aa，435aa，547aa，，123nnaan，相加得232335(23)(2)(2)2nnaannnn23(2)23nannnn．因此，本题正确答案是：223nn．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________．【答案】见解析【解析】解：22534475AA1201AA9401206．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3sincossin02222fxxxx的图像经过点π,13．（1）求()fx．（2）在ABC△中，A、B、C的对边为a、b、c，5a，25ABCS△，角C为锐角且π72126Cf，求C边长．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3sincossin222fxxxx31cos(2)sin(2)22xx311sin(2)cos(2)222xxπ1sin262x，∵图象经过点π,13，∴ππ1sin21362，即π1sin22，即1cos2，∵π02，∴π3，∴π1()sin262fxx．（2）∵π17sin21226CfC，∴2sin3C，∴45cos193C，∵112sin525223ABCSabCb△，∴6b，∴22252cos536256213cababC，∴21c．18．（12分）已知ABC△中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，ABD△面积是ADC△面积的2倍．（1）求sinsinBC∠∠．（2）若1AD，22DC，求BD和AC的长．【答案】见解析．【解析】（1）1sin2ABDSABADBAD△∠，1sin2ADCSACADCAD△∠，因为2ABDADCSS△△，BADCAD∠∠，所以2ABAC，在ABC△中，由正弦定理得：sinsinACABBC∠∠，所以sin1sin2BACCAB∠∠．（2）设ADB∠，则πADC∠．由（1）知12ACbABc，所以2cb①，由22CD，所以2BD，在ACD△中，由余弦定理，2222121cos(π)22b，即232cos2b②，在ABD△中，由余弦定理，21222cosc，即2322cosc③，由①②③得1b，故1AC．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634（1）完成被调查人员的频率分布直方图．（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．年龄频率组距756555453515250.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510CCCCC424666622(2)CCCC1025104522575P．（2）的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510CC4515(0)CC22575P，21112646442222510510CCCCC41562410234(