陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列不等式的证明过程正确的是（）．A．若a，bR，则22babaabab≥B．若x，yR，则lglg2lglgxyxy≥C．若x为负实数，则4424xxxx≥D．若x为负实数，则222222xxxx≥【答案】D【解析】A不正确，因为a，b不满足同号，故不能用基本不等式；B不正确，因为lgx和lgy不一定是正实数，故不能用基本不等式；C不正确，因为x和4x不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，因为2x和2x都是正实数，故222222xxxx≥成立，当且仅当22xx相等时（即0x时），等号成立．故选D．2．已知na是等比数列，且0na，243546236aaaaaa，那么35aa的值等于（）．A．6B．12C．18D．24【答案】A【解析】由等比数列的性质可得22224354633553522()36aaaaaaaaaaaa，又∵0na，∴350aa，∴356aa．故选A．3．在ABC△中，若30B，23AB，2AC，则满足条件的三角形有（）．A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】B【解析】设ABc，ACb，BCa，sinsinbcBC，2231sin2C，∴3sin2C，∴120C或60C．满足条件的三角形有2个．故选B．4．已知正数x、y满足20350xyxy≤≥，则22xyz的最大值为（）．A．8B．16C．32D．64【答案】B【解析】21AxyO满足约束条件20350xyxy≤≥的平面区域如下图所示：由20350xyxy得(1,2)A，由图可知：当1x，2y时，22xyz的最大值为4216．故选B．5．等差数列na，12324aaa，18192078aaa，则此数列前20项和等于（）．A．160B．180C．200D．220【答案】B【解析】∵12324aaa，18192078aaa，∴120219318120543()aaaaaaaa，∴12018aa，∴1202020()1802aaS．故选B．6．一元二次不等式20axbxc的解集为(,)(0)，则不等式20cxbxa的解集为（）．A．11,B．11,C．11,D．11,【答案】C【解析】由已知，得0abaca，∵0，∴0ba，0ca，∴0b，0c，∵11bc，111ac，∴1，1是方程20cxbxa的两根，且110，∴不等式20cxbxa的解集是11|,0xx．故选A．7．在ABC△中，60A，2AB，且ABC△的面积为32，则BC的长为（）．A．3B．32C．23D．2【答案】A【解析】∵在ABC△中，60A，2AB，且ABC△的面积为32，∴13sin22ABACA，即1332222AC，解得：1AC，由余弦定理得：2222cos1423BCACABACABA，则3BC．8．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少与（）．A．38400元B．36000元C．36800元D．31200元【答案】C【解析】本题主要考查线性规划的实际应用．根据题意列出约束条件为3660900217ABABBA≥≤≤，且目标函数为16002400zAB，作出可行域如下：36A+60B900=0A+B21=0AB+7=0MOBA据图可知当目标函数直线经过(5,12)M时取得最大值1600524001236800，故租金至少为36800元．9．已知0x，0y，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则2()abcd的最小值是（）．A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：abxy，cdxy，∴222(2)()()4xyabxycdxyxy≥．当且仅当xy时取“”．故选D．10．设关于x、y的不等式组21000xyxmym，表示的平面区域内存在点00(,)Pxy，满足0022xy，求得m的取值范围是（）．A．4,3∞B．1,3∞C．2,3∞D．5,3∞【答案】C【解析】画出不等式组21000xyxmym表示的区域及直线22xy如图，结合图形可知点(,)Mmm能使得22mm，即23m．故选A．y=mMm,m()x=my+1=02x+xyO11．在ABC△中，2sin22Acbc，则ABC△的形状为（）．A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】解：因为21cossin222AcbAc，即cosbAc，由余弦定理可得2222bbcacbc，可得222abc，所以三角形是直角三角形．故选B．12．设x，y满足约束条件360200,0xyxyxy≤≥≥≥，若目标函数(0,0)zaxbyab的值是最大值为12，则23ab的最小值为（）．A．256B．83C．113D．4【答案】A【解析】本题主要考查简单的线性规划．根据题意作出可行域：y6=03xA4,6()y+2=0xyx由图象可知函数(0,0)zaxbyab在点(4,6)A处取得最大值，所以可得等式：4612ab，即236ab．而2323236ababab1313252666ababbaba≥当且仅当ab时，等号成立．故选A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为__________米．【答案】2000【解析】本题主要考查利用二次函数求极值．先将20棵树编号分别为1，2，3，L，20，树苗放在编号为k的树旁，列出每位同学往返总路程的表达式的化简式为220(21210)Skk，又*kN，故由二次函数的性质得10k或11时，S最小，最小值为2000．故本题正确答案为2000．14．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC△的面积，满足2223()4Sabc，则角C的大小为__________．【答案】π3【解析】解：∵2223()4Sabc，∴可得：13sin2cos24abCabC，∴tan3C，∵0πC，∴π3C．15．设x，y为实数，满足238xy≤≤，249xy≤≤，则34xy的最小值是__________．【答案】27【解析】利用待定系数法，即令3224()mnxxxyyy，求得m，n后整体代换求解．设3224()mnxxxyyy，则3422mnnmxyxy，∴2324mnnm，即21mn，∴232214()xxxyyy，又由题意得22[16,81]xy，2111,83xy，所以232214()[2,27]xxxyyy，故34xy的最大值是27．16．若不等式1|21|axx≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】13,22【解析】∵11||2||xxxx≥，∴不等式1|21|axx≤对一切非零实数x恒成立，等价于|21|2a≤，∴2212a≤≤，∴1322a≤≤．∴实数a的取值范围是13,22．因此，本题正确答案是：13,22．17．在锐角ABC△中，1BC，2BA，AC的取值范围为__________．【答案】(2,3)【解析】解：由题意，得π0π32π022AA，解得ππ64A．由正弦定理sinsinACBCBA，得2cosACA，∵A的取值范围为ππ64A，故(2,3)AC．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知a、b为正实数，且1ab，求11yabab的最小值．【答案】见解析．【解析】解：11yabab112baababababab≥21abab2143ababab212432ababab≥2342254．当且仅当12ab时，11yabab取最小值，最小值为254．19．（10分）在等差数列na中，26a，3627aa．（1）求数列na的通项公式．（2）若数列nb的通项公式为13nnb，求数列nnab的前n项的和nT．【答案】见解析．【解析】解：（1）设等差数列na的公差为d，则1(1)naand，由26a，3627aa，可得1162427adad，解得133ad．从而，3nan．（2）由（1）可知3nan，∴23313233313nnnnnabnTn，①234131323333nnTn，②①-②，得：23113(13)2133333313nnnnnTnn，故1(21)334nnnT．20．（12分）已知a和b是任意非零实数．（1）求|2||2|||ababa的最小值．（2）若不等式|2||2|||(|2||2|)ababaxx≥恒成立，求实数x的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）因为|2||2||22|4||ababababa≥对于任意非零实数a和b恒成立，当且仅当(2)(2)0abab≥时取等号，所以|2||2|||ababa的最小值等于4．（2）因为|2||2||2||2|||ababxxa≤恒成立，故|2||2|xx不大于|2||2|||ababa的最小值．由（1）可知|2||2|||ababa的最小值等于4．实数x的取值范围即为不等式|2||2|4xx≤的解，解不等式得22x≤≤．21．（12分）如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(31)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方辑私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜．问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．北DCBA45°75°30°【答案】见解析．【解析】解：如图所示，设辑私船追上走私船需t小时，则有103CDt，10BDt．在ABC△中，∵31