陕西省2019年中考数学试题研究 类型4 辅助圆问题练习

类型4辅助圆问题8.(1)如图①，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，则AC的取值范围是________；(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB＝23，以AB为边在第一象限作等边△ABC，连接OC，求OC的最大值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，BC＝27，AC＝6.以AC为边向上作△ADC，使得∠ADC＝120°，连接BD，则BD的长度是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)1AC5；(2)如解图①，取AB中点D，连接OD、CD.第8题解图①∵△AOB是直角三角形，点D是AB的中点，∴OD＝12AB＝3.∵△ABC是等边三角形，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，且AD＝BD＝3，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝3，当O、D、C三点不共线时，在△ODC中，OD＋CDOC，当O、D、C三点共线时，OD＋CD＝OC，∴OC≤OD＋CD＝3＋3,即OC的最大值为3＋3；(3)存在．如解图②，以AC为底边，向下作等腰△AOC，且∠AOC＝120°，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，作BE⊥AC，OF⊥AC，OG⊥BE，连接OB、OD.第8题解图②∵在等腰△AOC中，∠AOC＝120°，∴∠OAC＝30°，AF＝CF＝3，在Rt△AOF中，OF＝AF·tan30°＝3，OA＝2OF＝23，∵∠ADC＝120°，∴点D在AC︵上，∴OD＝OA＝23.设AE＝x，则EC＝6－x，在Rt△ABE中，BE＝AB2－AE2＝16－x2，在Rt△BCE中，BE＝BC2－CE2＝28－（6－x）2，∴16－x2＝28－（6－x）2，解得x＝2，∴AE＝2，CE＝4，∴BE＝16－x2＝23，又∵OF＝EG＝3，∴BG＝23－3＝3，∵OG＝EF＝AF－AE＝1，∴OB＝OG2＋BG2＝2，∵tan∠ACB＝BEEC＝234＝3233＝tan∠ACO，∴点O在△ABC内．∵当B、O、D三点不共线时，在△BOD中，OB＋ODBD，当B、O、D三点共线时，OB＋OD＝BD，∴BD≤OB＋OD＝2＋23，∴BD的长度存在最大值，最大值为2＋23.9.问题提出(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，AB＝4，探究在△ABC的边上及其内部是否存在一点P，使得∠APB＝2∠ACB？若存在，请求出△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由．问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB＝4，∠C＝30°，点P是平面内一点，且∠APB＝2∠ACB，请在图中作出满足条件的所有点P，并求出△ABP面积的最大值；问题解决(3)某公园有一块三角形空地，其平面示意图如图③所示，为了美观，管理员想在这块空地上修建一个花坛，已知在△ABC中，∠CAB＝90°，那么可建立平面直角坐标系(以AB为x轴，AC为y轴)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，43)，则在坐标平面内是否存在一点P，使得∠CPB＝2∠ACB，且△CBP的面积及周长取得最大值？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)存在．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，又∵∠APB＝2∠ACB，∴∠APB＝90°，∴满足题意的点P在△ABC内部以AB为直径的圆弧上(含该圆弧与△ABC斜边的交点)，如解图①所示．第9题解图①在圆弧上，到AB距离最大的点为该圆弧与△ABC斜边BC的交点，此时△ABP的面积最大，其最大值为12×4×2＝4；(2)∵∠ACB＝30°，∴∠APB＝2∠ACB＝60°，如解图②所示，以AB为边作等边三角形ABP1和ABP2，则∠AP1B＝∠AP2B＝60°.第9题解图②作△ABP1和△ABP2的外接圆，AP1B︵和AP2B︵就是满足条件的所有点P构成的图形(点P不与点A、B重合)．当点P在点P1或P2的位置时，点P到AB的距离最大，此时△ABP的面积最大，最大值为12×4×4×32＝43；(3)存在．∵∠CAB＝90°，点A(0，0)，B(4，0)，C(0，43)，∴在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝43，∴tan∠ACB＝ABAC＝33.∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝2∠ACB＝60°.如解图③，以BC为边作等边三角形CBP1和CBP2，作△CBP1和CBP2的外接圆，则满足条件的点P所构成的图形为BP1C︵和BP2C︵(点P不与点B、C重合)，当点P在点P1或点P2的位置时，△CBP的面积最大．第9题解图③在BP1C︵上任取一点P′(异于点P1)，连接BP′、CP′，并延长CP′到点B′，使P′B′＝BP′，连接P1B′、P1P′，则∠P1P′B＝∠P1P′B′＝120°.∵P1P′＝P1P′，∴△P1P′B≌△P1P′B′，∴P1B′＝P1B.∵在△CP1B′中，P1C＋P1B′CB′，∴P1C＋P1BCP′＋BP′，∴BC＋P1C＋P1BBC＋CP′＋BP′，即当△CBP的面积最大时，△CBP的周长也最大．∵AB＝4，AC＝43，∠CAB＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝8，∴P1(8，43)，P2(－4，0)．综上所述，满足题意的点P的坐标为(8，43)或(－4，0)．10.问题提出(1)如图①，已知等边△OAB，试在△OAB所在的平面中找出一个点P，使∠APB＝30°；问题探究(2)如图②，在△BCP中，BC＝2，∠P＝30°，点A为BP边上一点，且∠BAC＝60°，试求出△ABC周长的最大值；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是李叔叔家菜地示意图，其中AB＝60米，AD＝70米，李叔叔计划在菜地中修建一个鱼塘(四边形EFGH)，已知点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，并要求保持F为AB中点，EF＝60米，∠EFG＝60°，∠GHE＝120°.为了容纳更多的垂钓者，要求这个四边形鱼塘的周长尽可能大．你认为李叔叔的想法是否能实现？若能，求出这个四边形EFGH周长的最大值；若不能，请说明理由．(3≈1.732)第10题图解：(1)如解图①所示，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O的优弧AB︵上任意一点(A、B除外)即为点P；第10题解图(2)∵∠BAC是△APC的一个外角，∴∠BAC＝∠P＋∠ACP，∵∠BAC＝60°，∠P＝30°，∴∠ACP＝∠P＝30°，∴AC＝AP，∴AB＋AC＝AB＋AP＝BP.如解图②，作△BPC的外接圆，当BP为直径时，△ABC的周长最大，此时点A与△BPC的外接圆圆心A′重合．在⊙A′中，A′B＝A′C，∠BA′C＝2∠P＝60°，∴△A′BC为等边三角形．又∵BC＝2，∴A′B＝A′C＝BC＝2，∴△ABC周长的最大值为6.(3)能．如解图③，连接EG，过点F作FK⊥EG于点K，第10题解图③在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝60米，F为AB中点，∴FA＝FB＝30米，在Rt△AEF中，AF＝30米，EF＝60米，∴∠AFE＝60°.又∵∠EFG＝60°，∴∠BFG＝∠AFE＝60°，∴△AEF≌△BGF(ASA)，∴EF＝GF，又∵∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，即EF＝FG＝EG＝60米，∴FK＝32EF＝303米，作△EFG的外接圆⊙O，∵∠EHG＝120°，∴点H在劣弧EG︵上运动，同(2)可得，当点H运动到EG︵中点H′时，EH′＝GH′，EH＋HG最大，连接H′K，点K为EG的中点，∴H′K⊥EG.在Rt△EKH′中，EK＝30米，∠EH′K＝60°，∴EH′＝EKsin60°＝3032＝203米，KH′＝103米．∴四边形EFGH′的周长最大为EF＋FG＋GH′＋H′E＝60＋60＋203＋203＝120＋403(米)．此时FH′＝FK＋KH′＝303＋103＝403≈69.3米70米．∴点H′在矩形ABCD内部．∴李叔叔的想法可以实现．