陕西省2019年中考数学试题研究 类型2 面积最值问题练习

类型2面积最值问题4.问题探究(1)如图①，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，请你过AC上一点作一条直线分别与a、b交于E、F两点，且要求S△ABC＝S四边形ABFE；(2)如图②，在△ABC中，点D为AB边上的中点，E、F分别为AC、BC边上的任意一点，且不与点A、B、C重合．求证：S△DEFS△ADE＋S△BDF；问题解决(3)如图③，在∠MAN内有一定点P，点P到射线AN的距离为PD＝12，AD＝30，过点P作一条直线分别与AN、AM交于B、C两点．若tan∠MAN＝3，则△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．第4题图(1)解：如解图①，取AC的中点O，过点O任作一条直线分别与a、b交于E、F两点即可．第4题解图①理由：∵O为AC的中点，∴OA＝OC.又∵AE∥FC，∴∠AEO＝∠CFO.∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴S△AEO＝S△CFO.又∵S△ABC＝S四边形ABFO＋S△CFO，S四边形ABFE＝S四边形ABFO＋S△AEO，∴S△ABC＝S四边形ABFE；(2)证明：如解图②，过点B作BG∥AC，交ED的延长线于点G，连接GF.第4题解图②∵BG∥AC，∴∠GBD＝∠EAD.在△GBD和△EAD中，∠GBD＝∠EADBD＝AD∠BDG＝∠ADE，∴△GBD≌△EAD(ASA)，∴DG＝DE，S△BDG＝S△ADE，∴S△DGF＝S△DEF.∵S△DGFS△BDG＋S△BDF，∴S△DEFS△ADE＋S△BDF；(3)解：存在．设点P为BC的中点，当过点P的一条直线为B1C1时，构成△AB1C1，如解图③，过点C作CF∥B1B交C1B1于点F，∴∠FCP＝∠B1BP，∠CFP＝∠BB1P，第4题解图③∵PC＝PB，∴△PCF≌△PBB1(AAS)，∴S△PCF＝S△PBB1，而S△ABC＝S△PBB1＋S四边形AB1PC，S△AB1C1＝S△C1CF＋S△PCF＋S四边形AB1PC，∴S△ABCS△AB1C1，当过点P的直线为B2C2时，过点B作BF1∥AM，如解图③，同理可得S△ABCS△AB2C2，∴当过点P的直线满足PB＝PC时，△ABC的面积最小．过点C作CE∥PD，交AN于点E，∵点P为BC的中点，则PD为△BCE的中位线，∴ED＝BD.∵PD＝12，∴CE＝2PD＝24.又∵tan∠MAN＝3，∴AE＝CEtan∠MAN＝8，而ED＝AD－AE＝30－8＝22，∴BD＝22，故AB＝AD＋BD＝30＋22＝52，∴S△ABC＝12AB·CE＝12×52×24＝624.5.问题探究(1)请从如图①所示的矩形中裁出一个正方形，画出你的裁剪方法，裁剪线用虚线表示；(2)如图②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四个顶点至少有3个在矩形ABCD的边上，请通过计算，确定正方形EFGH面积的最大值和最小值；问题解决(3)如图③，有一块三角形形状的铁皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，现在需要从这块铁皮上剪下一个正方形PQMN用于做一个正方盒的盖子，要求正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另外两个顶点分别在△ABC的另两边上．试通过计算确定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面积最大？第5题图解：(1)作图如解图①所示；第5题解图①(2)设AE＝x，则BE＝4－x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°.∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x，在Rt△BEF中，由勾股定理得：EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴当x＝0或x＝4时，面积最大为16；当x＝2时，面积最小为8；(3)如解图②，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，根据勾股定理得AD＝8.分类讨论：i)当MN在BC上时，∵四边形PQMN是正方形，第5题解图②∴AD垂直且平分MN，设AD交PQ于点K，ND＝x，则PK＝ND＝x，KD＝2x.∵△APK∽△ABD，∴AKPK＝ADBD，即8－2xx＝86，解得x＝125，则此时正方形PQMN的边长为245；ii)当MN在AB上时，如解图③，过点C作CH⊥AB于点H，交PQ于点G，第5题解图③∵S△ABC＝12BC·AD＝12AB·CH＝48，∴CH＝9.6，设正方形PQMN的边长为y，则CG＝CH－GH＝9.6－y，∵△CPQ∽△CAB，∴PQAB＝CGCH，即y10＝9.6－y9.6，解得y＝24049.∵24524049，∴以△ABC的一腰为边，另两点在另一腰和底边上时，裁下来的正方形面积最大．