陕西省2019年中考数学试题研究 类型2 二次函数与特殊四边形判定练习

类型2二次函数与特殊四边形判定3.如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2，0)，B两点．(1)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)设y＝a(x－2)2＋k，将点C(0，－4)，A(－2，0)分别代入，得－4＝a（0－2）2＋k0＝a（－2－2）2＋k，解得a＝13k＝－163，故所求抛物线的函数表达式为y＝13(x－2)2－163，即y＝13x2－43x－4；第3题解图(2)存在．如解图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵EF是平行四边形AC边的对边，∴EF＝AC，EF∥AC，∴∠OAC＝∠MFE，∠AOC＝∠FME＝90°，∴Rt△OAC≌Rt△MFE，∴OC＝ME＝4，∴即点E的纵坐标为4或－4.i)13x2－43x－4＝－4，解得x1＝0(即点C，舍去)，x2＝4，即E(4，－4)，ii)13x2－43x－4＝4，解得x1＝2＋7，x2＝2－27，即E(2＋27，4)或E(2－27，4)．综上所述，满足条件的点E的坐标为(4，－4)，(2＋27，4)或(2－27，4)．4.已知抛物线C1：y＝－14x2＋bx＋c与x轴交于点(2，0)，对称轴为直线x＝－3.(1)求b、c的值；(2)若抛物线C1与抛物线C2关于y轴对称，求抛物线C2的函数表达式；(3)若抛物线C1与x轴的交点分别为A，B两点(A在B左侧)，抛物线C2与x轴交于A′，B′两点(A′在B′左侧)，且抛物线C2与y轴交于点M，则在抛物线C1及C2上是否存在点N，使得以点A′、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线C1：y＝－14x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－3，∴x＝－b2×（－14）＝－3，解得b＝－32，又∵y＝－14x2＋bx＋c过点(2，0)，∴0＝－14×22＋(－32)×2＋c，解得c＝4，∴b＝－32，c＝4；(2)由(1)得抛物线C1∶y＝－14x2－32x＋4，∵抛物线C1与抛物线C2关于y轴对称，∴抛物线C1与抛物线C2上对应点的横坐标相反，纵坐标相等，∴将－x代入y＝－14x2－32x＋4中，得y＝－14(－x)2－32(－x)＋4，即y＝－14x2＋32x＋4，∴抛物线C2的函数表达式为y＝－14x2＋32x＋4；(3)令－14x2＋32x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∵A′在B′左侧，∴A′(－2，0)，B′(8，0)，∵以点A、A′、M、N为顶点的四边形为平行四边形，点A(－8，0)，∴①当AA′为边时，有MN＝AA′，且MN∥AA′，∵AA′＝－2－(－8)＝6，且当x＝0时，y＝4，即点M坐标为(0，4)，∴令－14x2－32x＋4＝4，解得x1＝－6，x2＝0(舍)，∴N1(－6，4)，且MN1＝AA′＝6，∴N1符合题意．同理，令－14x2＋32x＋4＝4，解得x1＝6，x2＝0(舍)，∴N2(6，4)，则MN2＝AA′＝6，∴N2符合题意；②当AA′为对角线时，令AA′中点为G，∵A(－8，0)，A′(－2，0)，M(0，4)，∴G(－5，0)，令N3(m，n)，则0＋m2＝－5，得m＝－10，4＋n2＝0，得n＝－4，将m＝－10代入y＝－14x2－32x＋4中得y＝－6≠－4，将m＝－10代入y＝－14x2＋32x＋4中得y＝－36≠－4，∴N3不存在．综上所述，符合条件的点N有(－6，4)、(6，4)．5.已知抛物线C1：y＝ax2－bx－1经过(1，－2)和(3，2)两点．(1)求抛物线C1的表达式；(2)将抛物线C1沿直线y＝－1翻折，再将翻折后的抛物线向上平移2个单位，再向右平移m个单位，得到抛物线C2.若C2的顶点B在抛物线C1上，求m的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线C1的顶点为A，E为抛物线C1上的一点，F为抛物线C2上的一点，则是否存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出矩形的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线C1：y＝ax2－bx－1经过(1，－2)和(3，2)两点，∴a－b－1＝－29a－3b－1＝2，解得a＝1b＝2，∴抛物线C1的表达式为y＝x2－2x－1；(2)∵抛物线C1的表达式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)．∵点(1，－2)关于直线y＝－1对称点的坐标为(1，0)，∴点B的坐标为(1＋m，2)．∵B在抛物线C1上，∴(1＋m－1)2－2＝2.解得m1＝2，m2＝－2(舍去)，∴m的值为2；(3)存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形．由题可知：A(1，－2)、B(3，2)，抛物线C2的表达式为y＝－(x－3)2＋2，则线段AB的中点C的坐标为(1＋32，－2＋22)，即C(2，0)．当x＝1时，y＝－(1－3)2＋2＝－2，∴点A(1，－2)在抛物线C2上，∴抛物线C1与抛物线C2关于点C成中心对称．当AB为四边形的一边时，分别过点A、B作AB的垂线，与抛物线C1、C2交于点M、N，则点M、N分别位于AB的两侧，故此时不存在以A、B、E、F为顶点的矩形；当AB为四边形的对角线时，如解图，在抛物线C1上任取一点E(A、B除外)，连接EC并延长交抛物线C2于点F，连接AE、AF、BF、BE，则EC＝FC.第5题解图∵EC＝FC，AC＝BC，∴四边形EAFB是平行四边形．要使四边形EAFB为矩形，则需满足∠AEB＝90°，设E(a，a2－2a－1)，∵A(1，－2)，B(3，2)，∴EA2＝(a－1)2＋(a2－2a＋1)2，EB2＝(a－3)2＋(a2－2a－3)2，AB2＝(1－3)2＋(－2－2)2＝20，在Rt△AEB中，AB2＝EA2＋EB2，即(a－1)2＋(a2－2a＋1)2＋(a－3)2＋(a2－2a－3)2＝20，解得a1＝0，a2＝1(舍)，a3＝3(舍)，∴点E的坐标为(0，－1)，∴存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形．∵E(0，－1)，A(1，－2)，B(3，2)，∴AE＝2，BE＝32，∴S矩形EAFB＝AE·BE＝6.