陕西省2019年中考数学试题研究 类型1 面积平分问题练习

类型1面积平分问题1.问题探究(1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：______；如图①，已知筝形ABCD，连接AC，试证明直线AC平分该筝形ABCD的面积；(2)如图②，已知四边形ABCD，AB＝AD，BC＝DC.在四边形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线B—P—D平分筝形ABCD的面积，并说明理由；问题解决(3)现有一块如图③所示的菜田ABCD，且D处有一水井，现要过水井D修一条灌溉水渠，该水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等，已知AB＝AD＝20m，BC＝DC＝205m，∠BAD＝90°，则是否能修出这样的水渠？若能，求出该水渠的长度；若不能，请说明理由．第1题图解：(1)菱形(或正方形)；证明：如解图①，第1题解图①在△ABC和△ADC中，AB＝ADBC＝DCAC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴直线AC平分筝形ABCD的面积；(2)如解图②，连接AC，取AC的中点P，连接BP、DP，则折线B—P—D平分筝形ABCD的面积．第1题解图②理由如下：∵S△ABP＝S△BPC，(三角形等底同高面积相等)∴S△ABP＝12S△ABC，同理，S△ADP＝12S△ADC，∴S△ABP＋S△ADP＝12S△ABC＋12S△ADC.∴S四边形ABPD＝12S四边形ABCD.即S四边形ABPD＝S四边形BCDP.∴折线B—P—D平分筝形ABCD的面积；(3)能．如解图③，设直线DG平分筝形ABCD的面积，连接AC、BD交于点O，第1题解图③∵OCOA，则S△ABDS△CBD，∴点G在BC边上．过点D作线段DG交BC于点G，设BG＝x，△DBG的边BG上的高为h，∵AB＝AD＝20，∠BAD＝90°，∴BD＝202.又∵△CBD是等腰三角形，则有CO＝DC2－DO2＝2000－200＝302，∴12BC·h＝12BD·CO＝12×205h＝12×202×302＝600，∴h＝125.若△DGC的面积等于四边形ABGD的面积，即S△DCG＝S△ABD＋S△BDG，则有12(205－x)h＝12×20×20＋12xh，即105h－12xh＝200＋12xh，∴x＝2035，即BG＝13BC.过点G作GH⊥BD于点H，∵AC⊥BD，GH⊥BD，∴GH∥AC，△BGH∽△BCO，则BH＝13BO，GH＝13CO，∴BH＝16BD，DH＝BD－BH＝56BD＝5032，GH＝13CO＝102，∴GD＝DH2＋GH2＝2500×29＋200＝20317.∴能修出这样的水渠，该水渠的长度为20317m.2.问题提出(1)如图①，已知△ABC，过点A作线段AD交BC边于点D，使得AD平分△ABC的面积；问题探究(2)如图②，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，AM＝2，在BC边上确定一点Q，使得线段MQ平分平行四边形ABCD的面积，并求出MQ的长；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中有四边形ABCD，A(0，2)、B(2，0)、C(4，0)、D(6，4)，过点A作线段AE交DC于点E，使得AE平分四边形ABCD的面积，并求点E的坐标．第2题图解：(1)如解图①，取BC边上的中点D，连接AD，线段AD即为所求；第2题解图①第2题解图②(2)如解图②，连接AC、BD交于点O，连接MO并延长，交BC于点Q，则MQ即可平分平行四边形ABCD的面积，且AM＝CQ，过点A作AE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴四边形AEFM是矩形，AE＝MF，AM＝EF＝2.在Rt△ABE中，∠B＝60°，AB＝6，∴BE＝3，AE＝33，∴FQ＝BC－BE－EF－QC＝8－3－2－2＝1，在Rt△MFQ中，∠MFQ＝90°，FQ＝1，MF＝AE＝33，∴MQ＝FQ2＋MF2＝12＋（33）2＝27；(3)如解图③，连接BD，取BD的中点P，连接AP、PC，则BP＝PD，∴S△ABP＝S△ADP，S△BCP＝S△CDP，∵S四边形ABCP＝S△ABP＋S△BCP，S四边形ADCP＝S△ADP＋S△DCP，∴S四边形ABCP＝S四边形ADCP，第2题解图③连接AC，过点P作PE∥AC交CD于点E，连接AE交PC于点F，则S△APE＝S△CPE，∴S△APF＝S△CEF，∴S△ADE＝S四边形ABCE，∴线段AE平分四边形ABCD的面积．设直线AC的解析式为yAC＝kx＋b(k≠0)，将点A(0，2)，C(4，0)代入，可求得直线AC的解析式为yAC＝－12x＋2，∵B(2，0)，D(6，4)，∴线段BD的中点P的坐标为(4，2)，∵AC∥PE,∴设直线PE的解析式为yPE＝－12x＋m，将点P(4，2)代入，可求得直线PE的解析式为yPE＝－12x＋4.设直线CD的解析式为yCD＝ax＋n，将点C(4，0)，D(6，4)代入，可求得直线CD的解析式为yCD＝2x－8，∵直线yCD＝2x－8与yPE＝－12x＋4交点为E，∴y＝2x－8y＝－12x＋4，解得x＝245y＝85，∴点E的坐标为(245，85)．3.问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B分别是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC________BD；(填“”，“”或“＝”)问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、PN、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD,AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第3题图解：(1)＝；【解法提示】两平行线间的距离处处相等．(2)1；【解法提示】在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝12BC，∴S△AMN＝14S△ABC，∴S四边形MNCB＝3S△AMN，∴S△AMN＝1.又∵直线a∥BC，MN∥BC，∴直线a∥MN，∴S△PMN＝S△AMN＝1.(3)如解图，在CD上取点G，使得CG＝DG，过点G作HK∥AB，分别交AD于点H，交BC的延长线于点K，连接BH、AK，相交于点O，连接EO并延长交AD于点F，此时EF即为所求．第3题解图过点A作AQ⊥BC于点Q，在Rt△ABQ中，AB＝10米，∠ABQ＝60°，∴BQ＝5米，AQ＝53米．∵BE＝2米，∴EQ＝3米．过点E作EP⊥DA交DA的延长线于点P，则四边形EQAP是矩形，∴PE＝AQ＝53米，AP＝EQ＝3米．∵G是CD的中点，CK∥HD，∴∠KCG＝∠HDG，∠CKG＝∠DHG，CG＝DG，∴△CKG≌△DHG(AAS)，∴CK＝DH，又由作图及题知HK∥AB，AD∥BC，∴四边形ABKH是平行四边形，∴AH＝BK，∴AH＝BC＋CK＝BC＋HD＝AD－HD，∴HD＝12(AD－BC)＝12×(30－8)＝11米，∴AH＝AD－HD＝30－11＝19米，∵FH＝BE＝2米，∴AF＝AH－FH＝17米，∴PF＝PA＋AF＝3＋17＝20米，在Rt△EPF中，由勾股定理得EF＝PE2＋PF2＝（53）2＋202＝519米．