陕西省2019年中考数学解答专项 面积最值问题练习

面积最值问题1.如图①、③，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝CD＝2，AB＝1.(1)请在图①中找出一点O，使得OA＝OB＝OC＝OD；(2)如图②，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，分别以AB、BC、AC为底边作等腰三角形，且每一个等腰三角形的顶角都为120°，找出这三个等腰三角形中面积最大的那个，并求出它的面积；第1题图(3)如图③，点Q是四边形ABCD外一动点，将点Q和与点Q相邻的两个点连起来，组成一个五边形，且∠Q＝2α(0°α45°)，是否存在点Q，使得以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的面积最大？若存在这样的点Q，请说明如何确定点Q的位置及理由，并求出此五边形的最大面积；若不存在，请说明理由．解：(1)如解图①，连接BD，过点C作CO⊥BD于点O，连接OA，此时OA＝OB＝OC＝OD；第1题解图①第1题解图②(2)如解图②，△DEF为等腰三角形，且∠EDF＝120°，它的底边EF＝a，DG是底边EF上的高，则DG＝EG·tan30°＝a2×33＝36a，∴S△DEF＝12×a×36a＝312a2.由此可知，对于顶角为120°的等腰三角形，其底边越长，则其面积越大．∴以BC为底边，顶角为120°的等腰三角形的面积最大，它的面积为312×62＝33；(3)存在这样的点Q，使得以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的面积最大．∵DC＝BC＝2，∠DCB＝90°，∴BD＝22，∴OC＝OD＝OB＝2.在Rt△ABD中，根据勾股定理可得，AD＝7.当点Q和与它相邻的两点构成的三角形为等腰三角形，且∠Q为顶角时，该三角形的面积最大．∵721，∴当点Q与点A、D构成以∠Q为顶角的等腰三角形时，以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的面积最大．∵S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝12×2×2＋12×7×1＝2＋72，S△ADQ最大值＝（7）24tanα＝74tanα，∴以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的最大面积为2＋72＋74tanα.2.问题探究(1)如图①，过五边形EBCDF的边EF上的点P作矩形PGCH，使点G、H分别在边BC、CD上；(2)请在图②的五边形EBCDF的边EF上取一点P，过点P作正方形PGCH，使点G、H分别在边BC、CD上，并说明理由；第2题图问题解决(3)某体育馆拟用如图③中的空地紧靠BC边及CD边建一个矩形的室内场馆，四边形ABCD的边BC＝60米，宽AB＝40米的矩形地皮，其中△AEF已经被其他建筑占用，经测量，AE＝30米，AF＝40米．试分析如何设计才能使矩形场馆面积最大？解：(1)如解图①，点P即为所求作的点；图①图②第2题解图(2)如解图②，过点C作∠BCD的角平分线交EF于点P，过点P分别作PG⊥BC于点G，PH⊥CD于点H，则四边形PGCH即为所求正方形.理由如下：∵∠GCH＝∠PGC＝∠CHP＝90°，∴四边形PGCH为矩形，又∵CP平分∠GCH，∴四边形PGCH为正方形；(3)如解图③，设P为EF上一点，过点P作PM⊥AB于点M，∴Rt△EAF∽Rt△EMP，∴PEEF＝EMAE＝MPAF，又∵AE＝30，AF＝40，第2题解图③∴EF＝50，令PE＝x米，矩形场馆面积为y平方米，∴EM＝35x，MP＝45x，∴矩形的长PH＝BC－MP＝60－45x，矩形的宽PG＝EM＋EB＝35x＋10，由题意得，y＝(60－45x)(35x＋10)＝－1225x2＋28x＋600，其中0≤x≤50，∴y＝－1225(x－1756)2＋30253，当x＝1756时，矩形场馆PGCH面积最大，最大面积为30253平方米．