陕西省2019年中考数学解答专项 二次函数与三角性相似练习

二次函数与三角形相似1.在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C交x轴于另一点M(－3，0)．(1)求抛物线C的表达式；(2)求抛物线C关于y轴的对称图形C′的顶点D的坐标；(3)若点A′是点A关于原点的对称点，则在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△A′BO相似，若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，根据题意过A、B、M三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知A、B分别为y＝－3x＋3与x轴、y轴的交点，可考虑运用“分别令0法”求得A、B坐标，从而求得抛物线表达式；(2)要求C′的顶点D的坐标，可考虑先求出C′的函数表达式，根据已知C′与C关于y轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后C′图象上各点与C图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得△PAD∽△A′BO的点P坐标，可考虑当△PAD与△A′BO相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出AP的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论．解：(1)设抛物线C的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝3，∴A点坐标为(1，0)，B点坐标为(0，3)．又∵抛物线经过A、B、M三点，∴03930cbaccba，解得321cba，∴抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3；(2)抛物线C关于y轴的对称图形C′的表达式为y＝－(－x)2－2×(－x)＋3＝－x2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4.∴该抛物线C′的顶点D的坐标为(1，4)；(3)点A′的坐标为(－1，0)，第1题解图若△PAD与△A′BO相似，①如解图，当DAAP＝BOOA′＝3时，AP＝43，P点坐标为(－13，0)或(73，0)；②如解图，当APDA＝BOOA′＝3时，AP＝12，P点坐标为(－11，0)或(13，0)；∴当△PAD与△A′BO相似时，P点坐标为(－13，0)或(73，0)或(－11，0)或(13，0)．2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(0，2)、C(1，0)．(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB上是否存在点Q，使得△ACQ与△AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线过点A(3，0)、C(1，0)，则可设抛物线表达式为y＝a(x－3)(x－1)，将点B(0，2)代入可得a(0－3)(0－1)＝2，解得a＝23，∴抛物线表达式为y＝23(x－3)(x－1)＝23x2－83x＋2；(2)∵y＝23x2－83x＋2＝23(x－2)2－23，∴抛物线的顶点为(2，23)；(3)存在．①如解图，过点C作x轴的垂线交AB于点Q1，第2题解图此时∠Q1CA＝∠BOA＝90°，∠Q1AC＝∠BAO，∴△ACQ1∽△AOB，∵C(1，0)，∴对于直线y＝－23x＋2，当x＝1时，y＝43，∴Q1(1，43)；②如解图，过点C作CQ2⊥AB于点Q2，此时∠CQ2A＝∠BOA＝90°，∠Q2AC＝∠OAB，∴△ACQ2∽△ABO，过Q2作Q2M⊥AC于点M，则△CMQ2∽△Q2MA,∴CMQ2M＝Q2MAM，即Q2M2＝CM·AM，设点Q2(x，－23x＋2)，则CM＝x－1，AM＝3－x，Q2M＝－23x＋2，∴(－23x＋2)2＝(x－1)(3－x)，解得x1＝3(与A点重合，舍去)，x2＝2113，∴Q2(2113，1213)，综上所述，存在点Q1(1，43)、Q2(2113，1213)使△ACQ与△AOB相似．