山西省忻州实验中学2018-2019学年高二数学下学期起始考试试题 文

山西省忻州实验中学2018-2019学年高二数学下学期起始考试试题文注意：本试卷共150分．考试时间120分钟．一、选择题（每小题5分，共60分）1．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是A．甲B．乙C．丙D．丁2．下表是某工厂6～9月份电量(单位：万度)的一组数据：月份x6789用电量y6532由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y^＝－1.4x＋a，则a等于A．10.5B．5.25C．5.2D．14.53．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝54．复数(3i－1)i的虚部是A．－1B．－3C．3D．15．设复数z满足(1－i)z＝2i，则|z|等于A．0B．1C．2D．26．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为135791113151719212325272931……A．809B．853C．785D．8937．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a•b＝0，则a＝0或b＝0②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a•b＋b2③向量a，有|a|2＝a2；类比复数z，有|z|2＝z2④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z21＋z21＝0，则z1＝z2＝0其中类比结论正确的命题个数是A．0B．1C．2D．38．“3＜x＜5”是“方程y2a－3＋x25－a＝1表示椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知命题p：∃x0∈R，使x20－ax0＋1＝0；命题q：函数y＝a－1x在(0，＋∞)上为减函数．若p∨q为假命题，则实数a的取值范围为A．(－2，1)B．(1，2)C．(－2，1]D．(1，2]10．过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程是A．x24－y22＝1B．x22－y24＝1C．y22－x24＝1D．y24－x22＝111．若椭圆x24＋y23＝1的弦被点M1，12平分，则此弦所在直线的斜率为A．23B．－23C．32D．－3212．函数y＝x3－2x2＋mx－3在R上不是单调函数，则m的取值范围为A．43，＋∞B．－∞，43C．－∞，43D．43，＋∞二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛物线y＝12x2的焦点坐标为____________．14．曲线f(x)＝cosxx在点π2，0处的切线方程为________________．15．已知方程y^＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，y^的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．16．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于___________．三、解答题17．(本题10分)已知复数z1＝(a－4)＋i，z2＝a－ai(a为实数，i为虚数单位)，且z1＋z2是纯虚数．(1)求复数z1，z2；(2)求z1z2的共轭复数．18．(本题12分)如下表，是某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程^y＝^bx＋^a；(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：^b＝i＝1nxiyi－n¯x¯yi＝1nxi2－n¯x2，^a＝¯y－^b¯x)．19．(本题12分)某院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查，得到如下的2×2列联表：专业A专业B总计女生12416男生384684总计5050100(1)从专业B的女生中随机抽取2名女生参加某项活动，求女生甲被选到的概率；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为该院校中性别与专业有关系呢？参考公式和数据：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．(本题12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－7在x＝处取得极值－3．(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－m＋3有3个零点，求实数m的取值范围．22．(本题12分)已知椭圆C的两焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1，0)且斜率存在的直线l与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，求直线l的方程．忻州实验中学2018－2019学年高二下学期起始考试文科数学答案一、选择题（每小题5分，共60分．）ADDACABBCCDB二、填空题（每小题5分，共20分．）13．0，1214．y＝－2πx＋15．－0.2916．1＋52三、解答题17．解：(1)z1＋z2＝2a－4＋(1－a)i，∵z1＋z2为纯虚数，∴2a－4＝0，a＝2．………………………………………………………………(3分)∴z1＝－2＋i，z2＝2－2i．………………………………………………………(5分)(2)z1z2＝－2＋i2－2i＝－34－14i，……………………………………………………(8分)∴z1z2的共轭复数为－34＋14i．……………………………………………………(10分)18．解：(1)¯x＝3＋4＋5＋64＝4.5，¯y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，……………………(2分)i＝14xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，i＝14xi2＝32＋42＋52＋62＝86，∴^b＝i＝14xiyi－4¯x¯yi＝14xi2－4¯x2＝66.5－4×3.5×4.586－4×4.52＝0.7，…………………………………(6分)^a＝¯y－^b¯x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，∴^y＝0.7x＋0.35.∴所求的回归直线方程为：^y＝0.7x＋0.35．………………(8分)(2)现在生产100吨甲产品用煤：^y＝0.7×100＋0.35＝70.35，………………(10分)∴90－70.35＝19.65，∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．………(12分)19．解：(1)设B专业的4名女生为甲、乙、丙、丁，随机选取两个，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6种情况，其中选到甲的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，共3种情况，所以女生甲被选到的概率P＝36＝12．………………………………………(6分)(2)根据列联表可得K2的观测值k＝100×(12×46－4×48)216×84×50×50＝10021≈4.762，…(10分)由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为该院校中性别与专业有关系．…………………………………………………………………(12分)20．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34．………………(4分)(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34．……………(6分)证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)……(8分)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34．……………………………………………………(12分)21．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f′(1)＝0，f(1)＝－3，即3x＋2a＋b＝0，a＋b－6＝－3，解得a＝－6，b＝9，经检验，符合题意，所以a＝－6，b＝9，…………………………(4分)(2)由(1)知f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＞0，得x＞3，或x＜1，令f′(x)＜0，得1＜x＜3，所以f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)；f(x)的单调减区间为(1，3)；f(x)极大值＝f(1)＝－3，f(x)极小值＝f(3)＝－7，………………………………(8分)数形结合，要使函数g(x)＝f(x)－m＋3有3个零点，则－7＜m－3＜－3，…………………………………………………………(10分)解得实数m的取值范围为－4＜m＜0．……………………………………(12分)22．解：(1)由已知a＝2b，c＝3，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为x24＋y2＝1．…………………………………………………(4分)(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)．由x2＋4y2＝4，y＝k(x－1)，消去y，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，所以x1＋x2＝8k21＋4k2，x1x2＝4(k2－1)1＋4k2，………………………………………(6分)所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝4(1＋k2)(k2－1)1＋4k2－8k41＋4k2＋k2＝k2－41＋4k2＝0，所以k2－4＝0，解得k＝±2，…………………………………………………………………(10分)所以直线l的方程为y＝2x－2或y＝－2x＋2．……………………………(12分)