山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）理（含解析）

山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）理（含解析）一、选择题。1.已知i是虚数单位，则复数221i（）A.1B.1C.iD.i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意222121iiiiiii，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法运算，属于基础题.2.已知集合|10Axxx，|lnBxyxa，若ABA，则实数a的取值范围为（）A.,0B.,0C.1,D.1,【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据ABA得到A是B子集，根据范围大小得到答案.【详解】|1001Axxxx|lnBxyxaxaABAAB所以0a故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.3.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的18a，42b，则输出的a（）A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出a的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，18和42的最大公约数是6，故输出6a，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.4.已知||1a，||3b，且|2|7ab，则向量a与b的夹角为（）A.60B.120C.30°D.150【答案】D【解析】【分析】将27ab两边平方，根据向量的夹角公式得到答案.【详解】1a，3b，2227447abaabb即313472abab33coscos22abab150故答案选D【点睛】本题考查了向量的运算和夹角公式，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线的离心率为52e，且经过点2,25，则该双曲线的标准方程为（）A.2214xyB.2214yxC.2214yxD.2214xy【答案】B【解析】【分析】根据离心率为52e得到2ab，设出方程代入点2,25得到答案.【详解】双曲线的离心率为522eab当焦点在x轴上时：设224xy，代入2,25得到19，不符合题意，舍去当焦点在y轴上时：设224yx，代入2,25得到1，满足题意双曲线的标准方程2214yx故答案选B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，分情况讨论是解题的关键.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为（）A.25B.42C.34D.41【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据图形判断最长棱，计算其长度得到答案.【详解】根据图像知：AB最长，简单计算得到34AB故答案选C【点睛】本题考查了三视图的还原，最长棱，意在考查学生的空间想象能力，7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药104555没服用药203050总计3075105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd；20PKk0.050.0250.0100.0050k3.8415.0246.6357.879①能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】计算出2K的值，由此判断出正确结论的个数.【详解】依题意22105103020456.10930755055K，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效,不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即①④结论正确，本小题选B.【点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知0,2，0,2，且sin2(1sin)cos(1cos2)，则下列结论正确的是（）A.22B.22C.2D.2【答案】A【解析】【分析】利用和差公式将式子化简，根据三角函数值关系得到角关系.【详解】已知：sin21sincos1cos222sincos1sin2cossincos1sincossincossincoscossincossin()0,2，0,2222故答案为A【点睛】本题考查了三角函数和差公式，降次公式，也可以用特殊值法排除得到答案.9.已知在三棱锥SABC中，2SASBSCAB，ACBC，则该三棱锥外接球的体积为（）A.32327B.439C.323D.163【答案】A【解析】【分析】取AB中点为D，连接,SDCD，证明球心在SD上，利用勾股定理得到半径，再计算体积.【详解】取AB中点为D，连接,SDCD，易知1,3CDSD在SCD中：1,3,2CDSDACSDCD又SDABSD平面ABCACBCD为ABC外心球心在SD上设半径为R，球心为O在ODB中：2221(3)RR233R32327V故答案选A【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置是解题的关键.10.已知点P是直线24yx上的动点，点Q是曲线xyxe上的动点，则PQ的最小值为（）A.5B.5C.3eD.535e【答案】B【解析】【分析】平移24yx，当直线与曲线xyxe相切时，切点到直线的距离即最小值.【详解】设曲线xyxe上切点为000(,)xMxxe'1xxyyxee00120xekx(0,1)M(0,1)M到直线24yx的距离为5即PQ的最小值为5故答案为B【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键.11.已知点1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，1e，2e分别是1C和2C的离心率，点P为1C和2C的一个公共点，且1223FPF，若2(2,7)e，则1e的取值范围是（）A.52,53B.225,35C.57,53D.725,35【答案】D【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用22,7e，求得1e的取值范围.【详解】设12,PFmPFn,不妨设P在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有1222mnamna，故22221222mnaa，2212mnaa.在三角形12FPF中，由余弦定理得2224cmnmn，即2221243caa①.由于22,7e，即2221127,,2277acccaac，故222274cca，由①得222214374ccca，即22212221437434ccacca，解得1725,35e【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查余弦定理，考查椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.12.已知实数x，y满足2210240xyxyxy，若当且仅当11xy时，22zxayb取最小值（其中0a，0b），则2ab的最大值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】画出可行域，将目标函数转化为到(,)ab距离的平方，将当且仅当11xy时取最小值，转化为(,)ab满足的可行域，再通过线性规划得到2ab的最大值.【详解】已知实数x，y满足2210240xyxyxy画出可行域，当且仅当11xy时，22zxayb取最小值，即当且仅当(,)ab到(1,1)距离最近.(,)ab满足的条件为：132200yxyxxy目标函数为2Kxy，画图知道当30xy时有最大值为3故答案选B【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为距离是解题的关键.二、填空题。13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为_______.【答案】25【解析】【分析】先计算总的分配方案为36C，将甲乙放在一起，另外找一人组成一组，共有142C种情况，相除得到答案.【详解】1436282205CpC【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.14.在平面直角坐标系内，由曲线2yx=，222xy和x轴正半轴所围成的封闭图形的面积为____.【答案】146【解析】【分析】首先计算曲线2yx=，222xy的交点为(1,1)A，过A作ABx轴于B，将面积分为两部分，分别求面积相加得到答案.【详解】易知曲线2yx=，222xy的交点为(1,1)A过A作ABx轴于B，将面积分为两部分则面积12SSS121013Sxdx2111224242S12146SSS故答案为146【点睛】本题考查了定积分的两种计算方式：公式法和几何法，意在考查学生的计算能力.15.已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，22cosbcacC22coscAa，33264ABCS，则ABC周长的最小值为_______.【答案】321【解析】【分析】利用余弦定理和正弦定理将等式化简得到60A，再利用面积公式得到322bc最后利用均值不等式得到答案.【详解】2222coscosbcacCcAa22222coscoscosbcacCcAabcAsincossincossin()s2sinincosACCABAACB1cos602AA133326sin322244ABCSbcAbcbc222222cosabcbcAbcbcbc12a周长122333abcbc当12bc时等号成立故答案为321【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生的综合能力与计算能力.16.已知函数()(sin)(sin)(0)fxaxxxxx的图象与2gxx的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1212sinsin11xxxx3434sinsin11xxxx______.【答案】1【解析】【分析】联立方程，两边除以2x得到新方程，设sin1xtx，通过函数的奇偶性和方程的韦达定理得到答案.【详解】函数sinsin0fxaxxxxx的图象与2gxx的图象有四个不同交点则2sinsinaxxxxx两边除以2x得到sinsin11(0)xxaxxx设sin1xtx原式211(1)10atttat2(1)401aa或3a121ttsin1xtx为偶函数1sin1xtx有两个解互为相反数2sin1xtx有两个解互为相反数312412121234sinsinsinsin11111xxxxttttxxxx