山西省山西大学附属中学2018-2019学年高二数学下学期2月模块诊断试题（含解析）

山西大学附中2018～2019学年高二第二学期2月（总第一次）模块诊断数学（文）试题时间：120分钟考试范围：（必修二、选修1-1）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.双曲线的虚轴长为A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得，虚轴长可求．【详解】双曲线的焦点在y轴上，且，，则虚轴长，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线【答案】【解析】试题分析：因为，正好为定值，所以轨迹为以F1（-3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线。考点：本题考查双曲线的定义。点评：熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断|F1F2|的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C．3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果.【详解】已知充分性：若因为，所以,所以,所以；必要性：若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.4.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得，解得，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当dr时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当dr时，直线与圆相交。5.设、是两个不同的平面，、是两条不同直线，则下列结论中错误．．的是A.若，，则B.若，则、与所成的角相等C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】若，，则是正确的，若，则、与所成的角相等是正确的，若，，则是正确的，若，，，则平面与平面可能相交，也可能平行，命题错误的选D.6.命题，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】试题分析：根据特称命题的否定形式，可知应该为B.考点：特称命题的否定形式.7.已知是双曲线的两个焦点,且直线是该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由是双曲线的两个焦点，则，又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，根据，求得的值，得到答案.【详解】由题意，是双曲线的两个焦点，则，且焦点在x轴上，又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，因为，即，解得，所以此双曲线的标准方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程的形式，以及几何性质的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A.或B.C.D.或【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故答案为：D。9.过双曲线左焦点的弦长为，则（为右焦点）的周长是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先可以通过双曲线方程得出，再通过双曲线的定义可得、，解出的值，最后得出结果。【详解】由双曲线的标准方程可得，由双曲线的定义可得：，，所以，即，．（为右焦点）的周长为，故选D。【点睛】本题考察的圆锥曲线中的双曲线，可根据双曲线的性质解题，有：与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数，这个固定的距离差是的两倍。10.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限，过点A作准线l的垂线，垂足为M，则的面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定过点F作倾斜角为的直线方程为，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，再求的面积．【详解】由已知条件的，抛物线准线为，焦点，直线倾斜角为，得斜率，设过点F作倾斜角为的直线方程为，代入抛物线方程可得，，，或，在第一象限，点坐标，，，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查三角形的面积，确定直线方程与抛物线方程联立是解题的关键．11.定义在上的函数满足：，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，即可求解.【详解】设g(x)＝exf(x)(x∈R)，则(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)0，所以(x)0，所以g(x)在定义域上单调递增，因为exf(x)4，所以g(x)4.又因为g(0)＝e0f(0)＝4，所以g(x)g(0)，所以x0.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.12.已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且，则椭圆C的离心率e的取值范围为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得AB所在直线方程，得到D的坐标，由斜率关系即可求得椭圆离心率，再由k的范围得答案．【详解】直线AB的方程为，将代入得点，则直线OD的斜率为，可得，则，，，则故选：B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数的导函数为，且，则_______.【答案】﹣12【解析】【分析】对题干中的式子求导，再将x=2代入得到结果.【详解】函数的导函数为，且,对这个式子求导得到，将x=2代入得到故答案为：-12.【点睛】这个题目考查了基本初等函数的求导法则，题目简单基础.14.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.15.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：曲线方程可化简为（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图，由数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x-b距离等于2，即，解得b=1+2或或b=1-2，因为是下半圆故可知b=1+2（舍），故b=1-2，当直线过（0，3）时，解得b=3，故1-2≤b≤3。考点：直线与圆的位置关系。点评：考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是直线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．16.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______．【答案】2【解析】【分析】可设P为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．【详解】解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，由∠F1AF2＝90°，可得m2+n2＝（2c）2，即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，化为a2+a'2＝2c2，则2，即有2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知圆M：x2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A作直线l。(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆M所截得的弦长。【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】⑴讨论直线斜率不存在和斜率存在两种情况，运用圆心到直线距离等于半径求出直线方程⑵由题意计算出直线方程，运用弦长公式求出弦长【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时直线的方程为所以直线的方程为或（2）当直线的倾斜角为时，直线的方程为，即圆心到直线的距离为.所以直线被圆所截得的弦长【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，当直线和圆相切时注意讨论直线斜率是否存在，计算弦长可运用公式得到结果18.已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:(1)第(1)问,先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程.(2)第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间.试题解析:，，，所以切点为（0，-2），∴切线方程为，一般方程为；（2），令，解得或，∴的单调递减区间为和.19.如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；（2）∵△HAO与△HOC面积相等，∴,∵BO⊥平面PAC,∴,∵,∠HOC=30°∴,∴,∴,即.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.20.已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为，求实数的值.【答案】(1)；(2)3.【解析】【分析】（1）根据题干条件得到a,b,c进而得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程得到二次方程，kHM+kHN，代入韦达定理,整理可得到结果.【详解】（1）椭圆的两焦点分别为，c=,短半轴长为,b=1,,故得到曲线C的方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得﹣，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴kHM+kHN＝，解得t＝3，故t的值为3.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程；（2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立．【详解】（1）设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）将代入并整理得，则，.∵直线：与椭圆交