山西省山西大学附属中学2017-2018学年高二数学3月月考试题 理（含解析）

山西大学附属中学2017-2018学年高二3月月考（理）数学一、选择题：共12题1.若直线的倾斜角为，则A.等于B.等于C.等于D.不存在【答案】C【解析】【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可.【详解】绘制直线如图所示，由直线倾斜角的定义可知等于.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握程度.2.函数的导数为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】函数的导数，故选B.3.已知空间向量，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件求得实数x的值，然后确定“”与“”的关系即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得，若，则，解得：，，据此可知：“”是“”的充分不必要条件.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为A.①③B.②③C.①④D.②④【答案】D【解析】【分析】由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A.0个B.至多一个C.1个D.2个【答案】D【解析】试题分析：由题设可得,即,又,故点在椭圆内,所以过点的直线必与椭圆相交于两个点,故应选D．考点：直线与圆的位置关系及椭圆的几何性质．6.焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可.【详解】设双曲线的方程为：，即，①据此可知：，，，据此可得：，解得：，代入①式可得双曲线方程是.本题选择B选项.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.7.如图,已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点D,则异面直线与所成的角的余弦值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法首先找到异面直线所成的角，然后结合空间几何体的结构特征求解异面直线与所成的角的余弦值即可.【详解】由三棱柱的性质可知：，则或其补角为异面直线与所成的角，不妨设三棱柱的棱长为，则，，，在中，由余弦定理可得：，据此可得：异面直线与所成的角的余弦值为.本题选择D选项.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过点F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定内切圆半径，然后利用等面积法求解|y2-y1|的值即可.【详解】设内切圆半径为，由题意可得：，则，由椭圆的方程可知：，则的周长为：，设的面积为，利用等面积法可得：，即：，解得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查焦点三角形的处理方法，圆与三角形内切的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知平面区域，.若命题“”为真命题，则实数m的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求得Z的最小值，然后结合恒成立的条件求得m的取值范围，最后确定m的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示点与可行域内点的连线的斜率，数形结合可知，目标函数在点处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.由恒成立的条件可得：，即实数m的最大值为.本题选择B选项.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10.一个几何的三视图如图所示，则表面积为A.B.或C.或D.【答案】B【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图1为一个边长为3正方体切去一个左上角，图2为一个边长为3正方体切去一个左上角，一下右下角。图1的表面积为，图2的表面积为。选B.11.如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.离心率为的椭圆D.离心率为3的双曲线【答案】C【解析】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V﹣BC﹣A的平面角令其为θ则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.12.如图，在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可.【详解】设CD的中点为，由余弦定理可得：，很明显为等腰三角形，则，，据此有：，由勾股定理的逆定理可得：，很明显，以P为原点，PC为x轴正方向，PB为y轴正方向，PA为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知，设球心坐标为，由OA=OB=OC=OD可得：，解得：，则外接球半径：，其表面积：.本题选择A选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：共4题13.命题“若，则”的否命题是__________．【答案】若，则【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若，则”的否命题是若，则.14.已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解的面积即可.【详解】设原图形的面积为，斜二测画法所得图形的面积为，由斜二测画法可知：，题中，则原的面积为.【点睛】本题主要考查斜二测画法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点F为抛物线的焦点，若为正三角形，则双曲线的离心率是_______________.【答案】【解析】分析：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲求得y的值，再根据△FAB为正三角形，可得tan30°=，解得a的值，可得的值．详解：已知抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲线求得y=±，再根据△FAB为正三角形，可得tan30°==，解得a=．故c2=+4，∴，故答案为：．点睛：（1）本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的有直接法和方程法，本题利用的是直接法，直接先求a和c的值,再求离心率.16.已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】分析：若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即可求出实数m的取值范围．详解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案为：﹣2≤m≤10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出.三、解答题：共6题17.命题方程表示双曲线；命题不等式的解集是.为假，为真，求的取值范围.【答案】【解析】分析：先化简命题p和q,再根据为假，为真得到真假或假真，最后得到m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：真：，真：或∴因为为假，为真所以真假或假真，真假得假真得∴范围为.点睛：（1）本题主要考查命题的化简和复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18.三棱柱中，分别是、上的点，且，.设，，.(1)试用表示向量；(2)若，，，求MN的长.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得.(2)由题意计算可得，结合(1)的结论可知.【详解】(1)==.(2)=，即，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，空间向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程.【答案】(1)M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2(2)x＋3y－8＝0【解析】【分析】(1)圆C的方程即x2＋(y－4)2＝16，设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由·＝0可得M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由题意结合(1)的结论可得M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.结合几何关系可知，l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.【详解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是