山西省2019届高三数学百日冲刺考试试题 文（含解析）

山西省2019届高三数学百日冲刺考试试题文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（为虚数单位），则的虚部是（）A.B.4C.D.-4【答案】D【解析】【分析】由复数，即可得到复数的虚部，得到答案。【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集的运算，求得，即可得到答案。【详解】由题意，可得集合，，则，故选B。【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运算，得到集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。3.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线方程得，，故，故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若从不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则（）A.12B.16C.24D.32【答案】C【解析】【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.【详解】依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故，解得.所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.5.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r=h=，则，∴侧面积为故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积的应用．6.设满足约束条件，则的最大值是（）A.1B.4C.6D.7【答案】D【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】由条件画出可行域如图：表示直线在y轴上的截距，当：平移到过点A时，最大，又由，解得此时，.故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是周期函数B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在处取得最大值【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，则由图象可知函数不是周期函数，所以A不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；若，则，，此时，若，则，，此时，综上恒有，即图象关于对称，所以C是正确的；由当时，函数不是函数的最大值，所以D错误，故选C。【点睛】本题主要考查了与三角函数有关的命题的真假判定问题，其中解答中涉及到三角函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的最值问题，其中正确作出函数的图象是解答本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。8.若某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的等于（）A.4B.13C.40D.41【答案】C【解析】【分析】运行程序，进行计算，当时退出循环，输出的值.【详解】，；，；，；，.因为，所以输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果.9.在中，角的对边分別为，若，，点是的重心，且，则的面积为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得或，利用和余弦定理列方程，求得面积的两种取值.【详解】由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题.10.已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程作差求得：，由中点坐标公式可知：x1+x2＝4，y1+y2＝4，代入求得直线MN的斜率．【详解】设，代入：，得，（1）-（2）得.因为线段的中点恰好为点，所以，从而，即的斜率为.故选C.【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题．11.函数的大致图象有可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除D选项.根据的零点个数，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】函数是偶函数，排除D；由，知当时，有两个解，令，而与在有两个不同的交点（如下图所示），故函数在上有个零点，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.12.已知，函数的最小值为6，则（）A.-2B.-1或7C.1或-7D.2【答案】B【解析】【分析】将化简成，利用基本不等式求得最小值，即可得到a.【详解】，（当且仅当时等号成立），即，解得或7.故选B.【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量不共线，，如果，则__________．【答案】【解析】【分析】由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。【详解】由题意，向量，所以，则且，解得.【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。14.已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先求得f(x)及f(1),再求导求得即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点处的切线方程.【详解】令，则，所以，即.且，又，∴.所以切线方程为，即.故答案为.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题．15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得的值.【详解】由题可得.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由几何体的直观图为三棱锥，其中的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，的球心为，球的半径为，且平面，平面，在和中，分别求得和，根据球的性质，求得求得半径，即可求解外接球的表面积。【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥，如图所示，其中的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，的球心为，球的半径为，且平面，平面.因为是顶角为的等腰三角形，所以的外接圆的直径为，即，即，又由为边长为的等边三角形，所以，即，根据球的性质，可得，所以外接球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及三棱锥外接球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于中档试题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列的前项和满足，.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值.（2）若，，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令代入，利用等比数列通项公式进行化简，求得的值.（2）利用，化简已知条件，得，利用凑配法证得是从第二项起的等比数列，由此求得的通项公式.【详解】解：（1）依题意可得，，两式相减，得，所以.因为，所以，且，解得.（2）当时，，当时，，所以，，即，又，，所以数列是从第二项起的等比数列，所以.【点睛】本小题主要考查已知数列的递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：123452427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合）附:相关系数公式，参考数据.（2）建立关于的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）.（参考公式：，）【答案】(1)见解析；(2)网购人数约为91人【解析】【分析】（1）由已知数据求得r值，由r值接近1可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．（2）求出与的值，得到线性回归方程，取t＝6求得y值得答案．【详解】（1）由题知，，，，，则.故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）由（1）得，.所以与的回归方程为.将带入回归方程，得，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题．19.在四棱柱中，底面为平行四边形，平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若直线与底面所成角为，，，分别为，，的中点，求三棱锥的积.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）推导出D1D⊥平面ABCD，D1D⊥BC，AD⊥BD，由AD∥BC，得BC⊥BD，从而BC⊥平面D1BD，由此能证明平面D1BC⊥平面D1BD．（2）由平面得，可以计算出，再利用锥体体积公式求得，根据等体积法即为.【详解】（1）∵平面，平面，∴.又，，，∴，∵，∴.又∵，∴.又∵，平面，平面，∴平面，而平面，∴平面平面；（2）∵平面，∴即为直线与底面所成的角，即，而，∴.又，∴.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，，其中为坐标原点，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用已知建立a，b的方程，解出a，b即可.（2）先考虑斜率不存在时，则与不存在，可设直线为，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k，再利用弦长公式计算即可.【详解】（1）由题可知，，解得，.所以椭圆的方程为.（2）设，，当直线斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为，代入方程，整理得.由，解得，所以，.，解得..【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考查运算能力，属于中档题．21.已知函数.（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，根据是函数的极值点，求得，利用导数符号，即可求解函数的单调区间；所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）由函数的导数，当时，得到在上单调递增，又由