山东省枣庄第八中学2019届高三数学12月月考试卷 理（含解析）

枣庄八中东校12月份月考高三试题理科数学第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆【答案】C【解析】设（），由，得，所以，即点到两点和的距离和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，故选C.2.若集合()A.B.C.D.【答案】C【解析】应选C分析：由集合A和B的取值范围，找出它们的公共部分，就得到集合A∩B．解答：解：∵A={x|-1≤x≤1}，B=∴A∩B═{x|-1≤x≤1}∩={x|0≤x≤1}．故答案为：C点评：本题考查交集的运算，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．3.某同学用收集到的6组数据对(其中)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为，相关系数为r．现给出以下3个结论：()①r0；②直线l恰好过点D．③1；其中正确结论是A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.4.数列的前n项之和为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过题干条件得到数列是由一个等差和一个等比数列构成的，故按照各自的求和公式进行分组求和即可.【详解】数列的通项为：，求和可以分为一个等差数列，首项为2，公差为1，和一个等比数列，首项为，公比为，将两个数列分别求和，=化简得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了等差数列和等比数列的求和公式的应用，也考查了分组求和的方法，较基础.数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。5.曲线在点(0,1)处的切线方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选：A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力6.在△中，为的中点，点满足，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求圆锥的底面半径以及高，再根据相似得内切球的半径，最后根据球的体积公式求结果.【详解】设圆锥的底面半径为r,高为h,则，设内切球的半径为R，则选A.【点睛】本题考查圆锥展开图相关知识，考查基本求解能力.8.曲线与曲线的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】C【解析】曲线可得：，曲线可得：由此可得只有其离心率时相等的9.设，其中，则函数内的零点个数是()A.0B.1C.2D.与n有关【答案】B【解析】【分析】先利用导数判断在上单调递增，再利用零点存在定理可得结果.【详解】由，知在上单调递增，，，根据零点存在定理可得在零点的个数只有个，故选B.【点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.10.右图是一个算法流程图，若输入的值是，输出的值是，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】执行程序框图，输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时结束输出，所以的取值范围是，故选D.11.直线与椭圆交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意，以为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点和两点得到一矩形，直线的倾斜角为，所以矩形的宽为，长为.根据椭圆的定义有，故.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的几何性质和圆的几何性质，还考查了椭圆的对称性.解题的关键是判断两个焦点与两点所组成的四边形为矩形，再结合直线的倾斜角，和椭圆的定义，可求得关于的一个方程，将方程化为离心率即可求得离心率.12.在空间直角坐标系中，O为原点，平面内有一平面图形由曲线轴围成，将该图形按空间向量进行平移，平移过程中平面图形所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到所划过的空间构成的是以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，再由祖暅定理得到结果.【详解】平面图形是以O为圆心，2为半径的半圆，将该圆按照空间向量进行平移，所划过的空间构成的是以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理，斜圆柱体积计算方法和直圆柱的计算方法相同，故答案为：A.【点睛】这个题目考查了立体图形的体积的计算，以及学生的空间想像能力，也涉及祖暅原理的应用，题目中等难度.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件目标函数的最小值为2，则a=________.【答案】【解析】【分析】结合前两个不等式可知，作出可行域的大致形状，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合可知当过区域内的点A时，直线在轴上的截距最小，联立方程组求出点坐标和的值.【详解】作出约束条件的可行域，如图所示，结合前两个不等式可知；目标函数，转化成直线，当截距取最小值目标函数对应最小值.由图可知，当直线过点A时取得最小截距.联立方程组，解得故答案为1.【点睛】本题主要考查线性规划的含参问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数型线性规划问题解题步骤（含参问题求参数也适用）：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值。（3）将平移，观察截距最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z。14.数列的前49项和为___________.【答案】【解析】【分析】由等差数列求和公式得到的通项，再裂项求和即可.【详解】令，∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。15.把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为__________(用数字作答)．【答案】96【解析】试题分析：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份；可以转化为将1、2、3、4、5这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况；则共有4×24=96种情况；故答案为96考点：排列、组合的应用点评：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法解决问题．16.设函数，则函数的各极大值之和为_________．【答案】【解析】【分析】对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的极大值点和极大值，再由等比数列求和公式得到结果.【详解】∵.∴当时，递增，∴时，递减，故当时，取极大值，其极大值为，极值点的定义是满足：当这个点的左右两侧的导函数值化为异号，即在这个点两侧的单调性相反，此时称这个点的横坐标为极值点，和，这两个坐标所对应的点均不符合这一定义，故对应的点不是极值点，又，故的各极大值之和.故答案为：.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且且，求值．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的点积运算的坐标表示得到函数表达式，由周期公式得到结果；（Ⅱ）由三角函数值得到角C的值，再由余弦定理得到结合可求值.【详解】（Ⅰ）.故最小正周期(Ⅱ），，C是三角形内角，∴即：即：．将代入可得：，解之得：或4,，,【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，三角函数的两角和正弦公式的应用，也考查了余弦定理解三角形的应用.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。18.如图，四棱锥底面为正方形，已知，，点为线段上任意一点（不含端点），点在线段上，且．（1）求证：；（2）若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）延长，交于点，只需证明MN//PG,通过可证明，从而证明MN//PG。（2）由于，以为轴建立空间直角坐标系,利用线面角的向量公式解题。试题解析：（Ⅰ）延长，交于点，由相似知，平面，平面，则直线//平面；（Ⅱ）由于，以为轴建立空间直角坐标系,设，则，，，，则，平面的法向量为，则向量与的夹角为，则，则与平面夹角的余弦值为.19.在数列中，.(1)若存在常数，使得是公比为3的等比数列，求的值；(2)对于（1）中的，记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意是公比为3的等比数列，故可求，结合，对应系数相等即可；（2）结合第一问得到，之后错位相减即可得到结果.【详解】（1）由题意，，即.又，所以.解得（2）由（l）知，若设，是首项为3，且公比为3的等比数列，故，即，故所以.①②②-①得故【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。20.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10．(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；【答案】(1)(2)，，甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些【解析】【分析】(1)根据平均数的概念和数值得到参数值即可；（2）根据公式求出两组的方差，结合第一问求得