2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题09 分式与分式方程（含解析）

专题09分式与分式方程专题总结【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子𝐴𝐴叫做分式，A为分子，B为分母。【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。与分式有关的条件：要求表示分式有意义分母≠0𝐴分式无意义分母=0𝐴分式值为0分子为0且分母不为0𝐴𝐴分式值为正或大于0分子分母同号①A0,B0②A0,B0分式值为负或小于0分子分母异号①A0,B0②A0,B0分式值为1分子分母值相等A=B分式值为-1分子分母值互为相反数A+B=01．（219·湖北中考模拟）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A．𝐴2+1𝐴2B．𝐴+1𝐴2C．𝐴2−1𝐴+1D．𝐴−1𝐴2+1【答案】D【详解】当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠，故选D．2．（219·江苏中考真题）若代数式𝐴+1𝐴−3有意义，则实数𝐴的取值范围是（）A．𝐴−1B．𝐴3C．𝐴−1D．𝐴3【答案】D【详解】∵代数式𝐴+1𝐴−3有意义，∴𝐴−3，∴𝐴3故选：D．3．（218·沭阳县马厂实验学校中考模拟）在1𝐴,12,𝐴2+12,3𝐴𝐴𝐴,3𝐴+𝐴,𝐴+1𝐴中分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【详解】解：12，𝐴2+12，3𝐴𝐴𝐴中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1𝐴，3𝐴+𝐴,𝐴+1𝐴中的分母中含有字母，因此是分式；故选：B．考查题型一分式值为0的判断方法1．（218·安徽中考模拟）分式𝐴2+2𝐴−3|𝐴|−1的值为0,则x的取值为()A．x=-3B．x=3C．x=-3或x=1D．x=3或x=-1【答案】A【详解】∵原式的值为0，∴{𝐴2+2𝐴−3＝|𝐴|−1，∴（x-1）（x+3）=0，即x=1或x=-3；又∵|x|-1≠，即x≠±1．∴x=-3．故选：A．2．（218·云南中考模拟）当式子|𝐴|−5𝐴2−4𝐴−5的值为零时，x的值是（）A．±5B．5C．−5D．5或1【答案】C【详解】由题意，得：|x|−5=0，且𝐴2−4𝐴−5；由|x|−5=0，得：x=±5；由𝐴2−4𝐴−5，得：x≠5，x≠−1；综上得：x=−5，故选C.3．（219·广西中考真题）若分式𝐴2−1𝐴+1的值为0，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【答案】B【详解】∵分式𝐴2−1𝐴+1的值为零，∴{𝐴2−1𝐴+1，解得：x=1，故选B．知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：𝐴𝐴𝐴•𝐴𝐴•𝐴，𝐴𝐴𝐴÷𝐴𝐴÷𝐴，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即𝐴𝐴−𝐴−𝐴−−𝐴𝐴−𝐴−𝐴注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。1．（219·山东中考模拟）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+𝐴𝐴−𝐴B．2𝐴𝐴2C．2𝐴33𝐴2D．2𝐴2(𝐴−𝐴)2【答案】D【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、2+3𝐴3𝐴−3𝐴2+𝐴𝐴−𝐴，错误；B、6𝐴9𝐴22𝐴𝐴2，错误；C、54𝐴327𝐴22𝐴33𝐴2，错误；D、18𝐴29(𝐴−𝐴)2＝2𝐴2(𝐴−𝐴)2，正确；故选D．2．（217·山东中考模拟）若把分式𝐴+3𝐴2𝐴𝐴的x、y同时扩大10倍，则分式的值（）A．扩大为原来的10倍B．缩小为原来的C．不变D．缩小为原来的【答案】B【详解】∵分式𝐴+3𝐴2𝐴𝐴中的x，y的值同时扩大10倍，分子扩大10倍，分母扩大100倍，∴分式的值缩小为原来的11．故选B．3．（217·河北中考模拟）若分式2𝐴𝐴𝐴+𝐴中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）A．不变B．是原来的3倍C．是原来的6倍D．是原来的9倍【答案】B【详解】根据分式的基本性质即可求出答案．解：原式=2×3𝐴×3𝐴3𝐴+3𝐴6𝐴𝐴𝐴+𝐴3×2𝐴𝐴𝐴+𝐴；故选B.分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。分式约分步骤：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式或整式。注意：1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式1．（216·山东中考真题）下列分式中，最简分式是（）A．𝐴2−1𝐴2+1B．𝐴+1𝐴2−1C．𝐴2−2𝐴𝐴+𝐴2𝐴2−𝐴𝐴D．𝐴2−362𝐴+12【答案】A【详解】选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.2．（218·山东中考模拟）下列分式中，最简分式是()A．𝐴2+𝐴𝐴𝐴2+2𝐴𝐴+𝐴2B．2𝐴+8𝐴2−16C．𝐴2+1𝐴2−1D．𝐴2−9𝐴2+6𝐴+9【答案】C【详解】由题意可知：𝐴2+xy𝐴2+2xy+𝐴2=𝐴(𝐴+𝐴)(𝐴+𝐴)2𝐴𝐴+𝐴，不是最简分式；2𝐴+8𝐴2−16=2(𝐴+4)(𝐴+4)(𝐴−4)2𝐴−4，不是最简分式；𝐴2+1𝐴2−1是最简分式；𝐴2−9𝐴2+6𝐴+9=(𝐴+3)(𝐴−3)(𝐴+3)2𝐴−3𝐴+3，不是最简分式.故选：C.3．（219·山东中考真题）计算𝐴2𝐴−1−𝐴−1的正确结果是()A．−1𝐴−1B．1𝐴−1C．−2𝐴−1𝐴−1D．2𝐴−1𝐴−1【答案】B【详解】原式𝐴2𝐴−1−(𝐴+1)𝐴2𝐴−1−𝐴2−1𝐴−11𝐴−1.故选：B．分式的通分通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。分式通分的关键：确定最简公分母确定分式的最简公分母的方法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；3.字母：各分母的所有字母的最高次幂4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂5.积约分与通分的相同点：1．（219·广西中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）A．𝐴+1𝐴2−1约分的结果是1𝐴B．分式211x与1𝐴−1的最简公分母是x﹣1C．2𝐴𝐴2约分的结果是1D．化简𝐴2𝐴2−1﹣211x的结果是1【答案】D【详解】解：A、𝐴+1𝐴2−1＝1𝐴−1，故本选项错误；B、分式211x与1𝐴−1的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；C、2𝐴𝐴2＝2x，故本选项错误；D、𝐴2𝐴2−1﹣211x＝1，故本选项正确；故选：D．2．（214·广西中考真题）下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）xB．2（m﹣n）x2C．D．4（m﹣n）x2【答案】D【详解】分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．故选D．3．下列各题所求的最简公分母,错误的是()A．13𝐴与26𝐴2的最简公分母是6x2B．13𝐴2𝐴与12𝐴𝐴2𝐴的最简公分母是6a2b2cC．13+𝐴与1−3−𝐴的最简公分母是x2-9D．1𝐴(𝐴+𝐴)与1𝐴(𝐴−𝐴)的最简公分母是mn(x+y)·(x-y)【答案】C【详解】A.13𝐴与26𝐴2的最简公分母是6x2，故正确；B.13𝐴2𝐴与12𝐴𝐴2𝐴的最简公分母是6a2b2c，故正确；C.13+𝐴与1−3−𝐴的最简公分母是3+x，故错误；D.1𝐴(𝐴+𝐴)与1𝐴(𝐴−𝐴)的最简公分母是mn(x+y)·(x-y)，故正确；故选C.4．（217·江苏宜陵镇中学初二月考）把分式xxy，yxy，1𝐴2−𝐴2进行通分，它们的最简公分母是（）A．𝐴−𝐴B．𝐴+𝐴C．()()xyxyD．(𝐴+𝐴)(𝐴−𝐴)(𝐴2−𝐴2)【答案】C【详解】分式𝐴𝐴−𝐴，𝐴𝐴−𝐴，1𝐴2−𝐴2的分母分别是（x-y）、（x－y）、（x+y）（x-y）．则最简公分母是（x+y）（x-y）=x2-y2．故选C．考查题型二分式的变形求值的方法1．（219·四川省成都市簇锦中学中考模拟）已知𝐴𝐴23，则𝐴𝐴+𝐴的值是_____．【答案】25【详解】∵𝐴𝐴23，∴设a=2k，则b=3k，∴𝐴𝐴+𝐴2𝐴2𝐴+3𝐴25.故答案为：25.2．（219·上海中考模拟）如果𝐴𝐴−𝐴53，那么𝐴𝐴______．【答案】52；【详解】∵𝐴𝐴−𝐴＝53∴3x＝5x－5y∴2x＝5y∴𝐴𝐴＝52.3．（212·广西中考模拟）已知＝，则的值为。【答案】97【详解】由已知得𝐴27𝐴，𝐴+𝐴𝐴27𝐴+𝐴𝐴97.分式的四则运算与分式的乘方1）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：𝐴𝐴•𝐴𝐴𝐴•𝐴𝐴•𝐴分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为𝐴𝐴÷𝐴𝐴𝐴𝐴•𝐴𝐴𝐴•𝐴𝐴•𝐴1．（2018山东中考模拟）计算22baa的结果为（）A．bB．bC． abD．ba【答案】A【详解】22baa=22baa=b，故选A.2．（218·山东中考模拟）化简221x-÷11x的结果是()A．21xB．2xC．21xD．2(x＋1)【答案】A【详解】原式=211xx（）（）•（x﹣1）=21x．故选A．3．（219·江西中考真题）计算1𝐴÷(−1𝐴2)的结果为（）A．𝐴B．−𝐴C．−1𝐴3D．1𝐴3【答案】B【详解】解：1𝐴÷(−1𝐴2)1𝐴·(−𝐴2)−𝐴，故选：B．4．（219·天津中考模拟）计算2231366xxxxx的结果为()A．6xxB．6xxC．6xxD．6x【答案】A【详解】223x1x36x6xx=221(6)(6)6(1)xxxxxxg=6xx故选A.5．（219·山东中考模拟）化简：2()nnmmm的结果是（）A．1mB．1mC．mnmD．mnn【答案】A【详解】试题分析：原式=(1)1nmmmmn.故选A.6．（219·河北中考模拟）化简2211xax的结果是21x，则a的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】A【详解】2212211=+1111xxaxxxx，∴a＝1，故选：A．2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子(𝐴𝐴)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴注意：1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。1．（219·内蒙古中考模拟）计算：①232nm_____；②baabab_____．【答案】2294nm1①232nm2294nm；②babaababab=-1.故答案为：①2294nm；②1.2．（218·上海中考模拟）计算：（1）（23ba）2=_____；（2）210abc54ac=_____．【答案】429ba8bc【详解】（1）（23ba）2=429ba；故答案为：429ba；（2）210abc54ac=21045abcca=