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当前位置:首页 > 临时分类 > 2020年中考数学考点一遍过 考点17 特殊的平行四边形(含解析)
考点17特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1.矩形的性质:(1)四个角都是直角;(2)对角线相等且互相平分;(3)面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.(如图)2.矩形的判定:(1)定义法:有一个角是直角的平行四边形;(2)有三个角是直角;(3)对角线相等的平行四边形.二、菱形的性质与判定1.菱形的性质:(1)四边相等;(2)对角线互相垂直、平分,一条对角线平分一组对角;(3)面积=底×高=对角线乘积的一半.2.菱形的判定:(1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形;(2)对角线互相垂直的平行四边形;(3)四条边都相等的四边形.三、正方形的性质与判定1.正方形的性质:(1)四条边都相等,四个角都是直角;(2)对角线相等且互相垂直平分;(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB.2.正方形的判定:(1)定义法:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形;(2)一组邻边相等的矩形;(3)一个角是直角的菱形;(4)对角线相等且互相垂直、平分.四、联系(1)两组对边分别平行;(2)相邻两边相等;(3)有一个角是直角;(4)有一个角是直角;(5)相邻两边相等;(6)有一个角是直角,相邻两边相等;(7)四边相等;(8)有三个角都是直角.五、中点四边形(1)任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.(2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.(3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.(4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外,还具有自己单独的性质,即:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.3.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.典例1(2019·陕西初三期中)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,若∠BAO=55°,则∠AOD等于A.105°B.110°C.115°D.120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB.∴∠BAO=∠ABO=55°.∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.故选B.典例2(2019·阜阳市第九中学初二期中)如图,矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上),AB=5,BC=12,点A表示的数是–1,则对角线AC、BD的交点表示的数A.5.5B.5C.6D.6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,∴190,2BAEAC,∴222251213ACABBC,∴AE=6.5,∵点A表示的数是−1,∴OA=1,∴OE=AE−OA=5.5,∴点E表示的数是5.5,即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5;故选A.1.(2019·陕西师大附中初三月考)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是A.AB=BCB.AC垂直BDC.∠A=∠CD.AC=BD2.(2019·云南初二期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线ACBD、交于点O,并且6015DACADB,,点E是AD边上一动点,延长EO交于BC点F,当点E从点D向点A移动过程中(点E与点D,A不重合),则四边形AFCE的变化是A.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二菱形的性质与判定1.菱形除了具有平行四边形的一切性质外,具有自己单独的性质,即:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.2.菱形的判定:四条边都相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.一组邻边相等D.对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较,可发现A,B,D两者均具有,而C只有菱形具有平行四边形不具有,故选C.【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件_____________,使四边形ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)【答案】BO=DO(答案不唯一)【解析】四边形ABCD中,AC、BD互相垂直,若四边形ABCD是菱形,需添加的条件是:AC、BD互相平分(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).故答案为:BO=DO(答案不唯一).3.已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为A.45°,135°B.60°,120°C.90°,90°D.30°,150°4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形.考向三正方形的性质与判定1.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.2.正方形的判定:以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形,再根据相应判定方法证明四边形是正方形.典例5(2020·宁夏初二期中)面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A.18㎝2B.20㎝2C.24㎝2D.28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2,∴边长为3cm,∴根据勾股定理得对角线长=223+3=32cm,∴以32为边长的正方形的面积=()232=18cm2.故选A.典例6(2019·重庆初三期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,过点C作CF⊥AE于F,DE交CF于G,则四边形ADGF的周长是A.8B.4+42C.8+2D.82【答案】D【解析】如图,连接AG,∵∠B=90°,AB=BC=4,∴∠CAB=∠ACB=45°,AC=42,∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,∴AD=AB=4,∠EAD=∠CAB=45°,∴∠FAB=90°,CD=AC﹣AD=42﹣4,∵∠B=90°=∠FAB,CF⊥AE,∴四边形ABCF是矩形,且AB=BC=4,∴四边形ABCF是正方形,∴AF=CF=AB=4=AD,∠AFC=∠FCB=90°,∴∠GCD=45°,且∠GDC=90°,∴∠GCD=∠CGD=45°,∴CD=GD=42﹣4,∵AF=AD,AG=AG,∴Rt△AGF≌Rt△AGD(HL),∴FG=GD=42﹣4,∴四边形ADGF的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+42﹣4+42﹣4=82,故选D.5.(2019·山东初三期中)如图,在正方形ABCD内一点E连接BE、CE,过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F,连接DF、DE.CE=CF=1,DE=6,下列结论中:①△CBE≌△CDF;②BF⊥DF;③点D到CF的距离为2;④S四边形DECF=2+1.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.46.(2020·陕西初三期末)如图,在正方形ABCD中,,2BEFCCFFD,AE、BF交于点G,下列结论中错误的是A.AEBFB.AEBFC.43BGGED.ABGCEGFSS四边形考向四中点四边形1.中点四边形一定是平行四边形;2.中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.典例7如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC=BD时,存在EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形,故A正确;B.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC⊥BD时,存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°,故四边形EFGH为矩形,故B正确;C.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF∥HG,EF=HG,则四边形EFGH为平行四边形,故C正确;D.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH为菱形,故D错误,故选D.7.顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形8.如图,我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.若四边形ABCD的面积记为S1,中点四边形EFGH的面积记为S2,则S1与S2的数量关系是A.S1=3S2B.2S1=3S2C.S1=2S2D.3S1=4S21.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=A.5B.4C.3.5D.32.(2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD=120°,AC=16,则图中长度为8的线段有A.2条B.4条C.5条D.6条3.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若沿折痕EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为A.158B.154C.152D.154.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为A.485cmB.245cmC.125cmD.105cm5.(2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB的度数是A.108°B.72°C.90°D.100°6.(2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是A.AE=BFB.∠DAE=∠BFCC.∠AEB+∠BFC=90°D.AE⊥BF7.如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,∠BFE=65°,则∠AEB=____________.8.(2018·陕西初三期末)如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′,则AP=_______.9.如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)求BD的长.10.(2020·内蒙古初三期末)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.11.(2020·呼和浩特市第十三中学初二期中)如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说出你的理由;(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形.直接写出答案,不需说明理由.1.(2019·重庆)下列命题正确的是A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形2.(2019·天津)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于A.5B.43C.45D.203.(2019·安徽)如图,在正方形ABCD
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