2020年中考数学考点一遍过 考点06 分式方程（含解析）

考点06分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．考向一解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．典例1解分式方程：312242xxx．【解析】去分母得：6-x=x-2，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．典例2方程33122xxx的解为_______________．【答案】1x【解析】方程两边同乘以(2)x，得(32)3xx，解得1x，检验：1x时，20x，所以1x是原分式方程的解．故填1x．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211xx，去分母得A．12(1)3xB．12(1)3xC．1223xD．1223x2．方程24222xxxx的解为A．2B．2或4C．4D．无解考向二分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3若关于x的方程3111axxx的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是A．6B．0C．1D．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax-1-x=3，解得：x=41a，由分式方程的解为整数解，得到a-1=±1，a-1=±2，a-1=±4，解得：a=2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a的和是9，故选D．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4若关于x的分式方程121kx的解为负数，则k的取值范围为_______________．【答案】3k且1k【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122kx，解得32xk，由分式方程的解为负数，可得203k且10x，即213k，解得3k且1k．3．若关于x的方程21111axx有增根，则a的值为A．－12B．12C．2D．24．关于x的方程2334axax的解为1x，则aA．1B．3C．-1D．-3考向三分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为A．2010154xxB．2010154xxC．201015xxD．201015xx【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产x个零件，则实际每天生产了(4)x个零件，实际15天共生产了(200)1x个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154xx．故选A．典例6元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A．2元B．2.5元C．3元D．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x元，则甲种商品单价为(1)20%x元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(xx，解得2.5x元．故选B．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为A．10801080615xxB．10801080615xxC．10801080615xxD．10801080615xx6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同（1）求A、B的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A类玩具多少个？1．下列关于x的方程：①153x，②121xx，③111xxx，④31xab中，是分式方程的有A．4个B．3个C．2个D．1个2．方程2131xx=+-的解为A．3x=B．4x=C．5x=D．5x=-3．解分式方程11222xxxA．2x是方程的解B．3x是方程的解C．4x是方程的解D．无解4．若关于x的方程223axax的解为x=1，则a等于A．0.5B．-0.5C．2D．-25．若代数式12x和321x的值相等，则x的值为A．x=-7B．x=7C．x=-5D．x=36．若关于x的方程3111kxx有增根，则k的值为A．3B．1C．0D．17．若分式方程3211xmxx无解，则mA．1B．3C．0D．28．关于x的方程2211xaaxx的解不小于0，则a的取值范围是A．2a且1aB．2a且3aC．2aD．2a9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/时，则可列出的方程为A．906022xxB．906022xxC．90602xxD．60902xx10．若分式方程22111xmxxxxx有增根，则m的值是A．-1或1B．-1或2C．1或2D．1或-211．已知关于x的分式方程212xax的解为非负数，则a的取值范围是A．a≤2B．a2C．a≤2且a≠-4D．a2且a≠-412．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x天完成，则可得方程A．1112012xB．2012xx=1C．111220=xD．1112012x13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得A．1501503012xx．B．1501503012xx．C．1501150212xx．D．1501150212xx．14．整数a满足下列两个条件，使不等式-2≤352x12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程13522axxxx=1的解为整数，则所有满足条件的a的和为A．2B．3C．5D．615．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程300030001510xx．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是A．20元B．18元C．15元D．10元17．分式方程xx412的解为_______________．18．若关于x的分式方程33xaxx=2a无解，则a的值为__________．19．关于x的方程123(2)(3)xxxaxxxx的解为非正数，则a的取值范围为__________．20．分式72x与2xx的和为4，则x的值为_______________．21．已知x=3是方程211kxkxx=2的解，那么k的值为__________．22．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运xkg物品，列出关于x的方程为_______________．23．解下列方程：（1）1233xxx；（2）2316111xxx；（3）10522112xx；（4）241111xxx．24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．1．（2019•海南）分式方程12x=1的解是A．x=1B．x=-1C．x=2D．x=-22．（20