2020年中考数学考点一遍过 考点02 整式及因式分解（含解析）

考点02整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=mna.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()ababab.（2）完全平方公式：222()2abaabb.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()mambmcmabc.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()ababab.运用完全平方公式：22²2()aabbab.3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.考向一代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.典例1某商品进价为每件x元，销售商先以高出进价50%销售，因库存积压又降价20%出售，则现在的售价为元.A．150%120%xB．150%20%xC．150%120%xD．150%20%x【答案】C【解析】根据题意：销售商先以高出进价50%销售后的售价为：150%x，然后又降价20%出售，此时的售价为：150%120%x.故选C.【名师点睛】此题考查的是列代数式，解决此题的关键是找到各个量之间的关系，列代数式.1．（2019•海南）当m=–1时，代数式2m+3的值是A．–1B．0C．1D．22．下列式子中，符合代数式书写格式的是A．acB．5aC．2nmD．112x考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.典例2下列说法中正确的是A．25xy的系数是–5B．单项式x的系数为1，次数为0C．222xyz的次数是6D．xy＋x–1是二次三项式【答案】D【解析】A.25xy的系数是–15，则A错误；B.单项式x的系数为1，次数为1，则B错误；C.222xyz的次数是1+1+2=4，则C错误；D.xy＋x–1是二次三项式，正确，故选D.3．按某种标准把多项式分类，334x与2221abab属于同一类，则下列多项式中也属于这一类的是A．1abcB．53xyC．22xxD．222aabb4．下列说法正确的是A．2a2b与﹣2b2a的和为0B．223ab的系数是23π，次数是4次C．2x2y﹣3y2﹣1是三次三项式D．3x2y3与﹣3213xy是同类项考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.典例3（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n个数为57，则n=A．50B．60C．62D．71【答案】B【解析】11212312341213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1213214321，，，，，，，，，，…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234566789101111109877554321，，，，，，，，，，，，∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．5．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2aB．2a2-2a-2C．2a2-aD．2a2+a6．（2019•滨州）观察下列一组数：a1=13，a2=35，a3=69，a4=1017，a5=1533，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=__________．（用含n的式子表示）典例4如图，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.【解析】（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2=6枚；第二个“上”字需用棋子4×2+2=10枚；第三个“上”字需用棋子4×3+2=14枚；∴第四个“上”字需用棋子4×4+2=18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2=22枚，故答案为：18，22；（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2=102，解得n=25，答：第25个“上”字共有102枚棋子．7．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为A．672B．673C．674D．6758．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是A．54B．63C．74D．84考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．典例5下列运算错误的是A．（m2）3=m6B．a10÷a9=aC．x3·x5=x8D．a4+a3=a7【答案】D【解析】A、（m2）3=m6，故此选项正确，不符合题意；B、a10÷a9=a，故此选项正确，不符合题意；C、x3·x5=x8，故此选项正确，不符合题意；D、a4和a3不是同类项不能合并，故此选项错误，符合题意．故选D．【名师点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键，注意此题是选择错误的，不用误选．9．下列计算中，结果是a7的是A．a3–a4B．a3·a4C．a3+a4D．a3÷a410．阅读下面的材料，并回答后面的问题材料：由乘方的意义，我们可以得到2351010(1010)(101010)101010101010，347(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)．于是，就得到同底数幂乘法的运算性质：问题：（1）计算：①4611()()22；②233(3)．（2）将33332222写成底数是2的幂的形式；（3）若252018()()()()pxyxyxyxy，求p的值.考向五整式的运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．典例6已知a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为A．2B．﹣2C．8D．﹣8【答案】D【解析】根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故选D．11．一个长方形的周长为68ab，相邻的两边中一边长为23ab，则另一边长为A． 45abB．abC． 2abD．7ab12．已知213xab与15yab的和是815xyab，则xy等于A．–1B．1C．–2D．2典例7若（x+2）（x–1）=x2+mx–2，则m的值为A．3B．–3C．1D．–1【答案】C【解析】因为（x+2）（x–1）=x2–x+2x–2=x2+x–2=x2+mx–2，所以m=1，故选C．13．已知（x+3）（x2+ax+b）的积中不含有x的二次项和一次项，求a，b的值．考向六因式分解因式分解的概念与方法步骤①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.典例8下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是A．（x+1）（x–1）=x2–1B．x2–2x+1=x（x–2）+1C．x2–4y2=（x–2y）2D．x2+2x+1=（x+1）2【答案】D【解析】A、右边不是积的形式，故本选项错误；B、右边不是积的形式，故本选项错误；C、x2–4y2=（x+2y）（x–2y），故本项错误；D、是因式分解，故本选项正确．故选D．14．下列因式分解正确的是A．x2–9=（x+9）（x–9）B．9x2–4y2=（9x+4y）（9x–4y）C．x2–x+14=（x−14）2D．–x2–4xy–4y2=–（x+2y）2典例9把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是A．（x﹣3）2B．(x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）【答案】A【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选A．15．分解因式：2224aa=_________________．16．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为A．﹣2B．﹣1C．1D．21．已知长方形周长为20cm，设长为xcm，则宽为A．20xB．202xC．202xD．10x2．已知3a﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b的值是A．4B．3C．﹣1D．﹣33．在0，﹣1，﹣x，13a，3﹣x，12x，1x中，是单项式的有A．1个B．2个C．3个D．4个4．若多项式2215134mxymy是三次三项式，则