2020年中考数学复习《图形的相似》难题训练

《图形的相似》难题训练（一）一、选择题1.如图所示，已知双曲线𝑦=𝑘𝑥经过𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶斜边上的点A，且满足𝐴𝑂𝐴𝐵=23，与BC交于点D，𝑆▵𝐵𝑂𝐷=21，则k的值为()A.10B.9C.8D.122.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐴=𝐵𝐶.点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG丄CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结𝐷𝐹.给出以下四个结论：①𝐴𝐺𝐴𝐵=𝐹𝐺𝐹𝐵；②点F是GE的中点；③𝐴𝐹=√23𝐴𝐵；④𝑆△𝐴𝐵𝐶=5𝑆△𝐵𝐷𝐹.其中正确结论的序号是共有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐷=4，E在AB上，𝐴𝐸=2，HF是CE的垂直平分线，交CD的延长线于点F，连结EF交AD于点G，则𝐺𝐷𝐴𝐺的值是()A.52B.√172C.114D.34√174.如图，□ABCD中，E为AD边上一点，𝐴𝐸=𝐴𝐵，𝐴𝐹⊥𝐴𝐵，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：𝐺𝐸=1：5，连结GF并延长交边BC于点𝐻.若GE：𝐵𝐻=1：2，则tan∠𝐺𝐻𝐵的值为()A.√32B.√33C.12D.√345.如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为A.127B.85C.32D.436.如图，在直角三角形ABC中，∠𝐴𝐶𝐵=900，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=6𝑐𝑚，动点P从点A出发沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将𝛥𝑃𝑄𝐶沿BC翻折，点P的对应点为𝑃′，若Q点运动的时间为t秒时，四边形𝑄𝑃𝐶𝑃′为菱形，则t的值为()A.1B.√2C.2D.37.如图，将一张等腰直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为直角梯形，乙为等腰直角三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是()A.甲乙丙B.乙丙甲C.丙乙甲D.丙甲乙8.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶.点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作𝐵𝐺⊥𝐶𝐷，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结𝐷𝐹.给出以下四个结论：①𝐴𝐺𝐴𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶；②当B，C，F，D四点在同一个圆上时，𝐶𝐹=𝐵𝐹；③若点D是AB的中点，则𝐴𝐹=√23𝐴𝐵；④若𝐷𝐵𝐴𝐷=12，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=9𝑆△𝐵𝐷𝐹.其中正确的结论序号是()A.①②B.①③C.②③D.①④二、填空题9.如图，已知矩形ABCD，𝐴𝐷=9，𝐴𝐵=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段MN与GH交于点𝐾.若∠𝐺𝐾𝑀=45°，𝑁𝑀=3√5，则𝐺𝐻=______．10.如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，点E、F分别在BC、CD上，若𝐴𝐸=√5，∠𝐸𝐴𝐹=45°，则AF的长为________．11.如图，在平面直角坐标系中，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠𝐴𝐵𝑂=90°，OA与反比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象交于点D，且𝑂𝐷=2𝐴𝐷，过点D作x轴的垂线交x轴于点𝐶.若𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=10，则k的值为______．12.我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=12，四边形CDEF是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，则正方形CDEF边长为______．13.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①𝐷𝑄=1；②𝑃𝑄𝐵𝑄=32；③𝑆△𝑃𝐷𝑄=18；④cos∠𝐴𝐷𝑄=35，其中正确结论是______(填写序号)14.如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=4√3𝑐𝑚，𝐴𝐷=12𝑐𝑚，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线𝐶—𝐷—𝐴匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为√3𝑐𝑚的⊙𝑃，当⊙𝑃与对角线BD相切时，点P的运动时间为_______s．15.如图所示，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=10𝑐𝑚，𝐴𝐷=20𝑐𝑚，两只小虫P每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则𝑡=________．三、解答题16.如图，D为⊙𝑂上一点，点C在直径BA的延长线上，∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐵𝐷．(1)求证：CD是⊙𝑂的切线；(2)过点B作⊙𝑂的切线交CD的延长线于点E，若𝐵𝐶=9，tan∠𝐶𝐷𝐴=23，求BE的长．17.△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹是两个等腰直角三角形，∠𝐴=∠𝐷=90°，△𝐷𝐸𝐹的顶点E位于边BC的中点上．(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△𝐵𝐸𝑀∽△𝐶𝑁𝐸；(2)如图2，将△𝐷𝐸𝐹绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．18.如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=20，𝐵𝐶=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．(1)求证：△𝐴𝑃𝑄∽△𝐶𝐷𝑄；(2)𝑃点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，𝐷𝑃⊥𝐴𝐶？19.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B重合)，且𝑀𝑄⊥𝐵𝐶，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．(1)试说明不论x为何值时，总有△𝑄𝐵𝑀∽△𝐴𝐵𝐶；(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．20.阅读下列材料并完成任务：数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度𝐴𝐵.测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离𝐶𝐷=2米，小明的眼睛E到地面的距离𝐸𝐷=1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离𝐹𝐻=3米；③计算树的高度AB；解：设𝐴𝐵=𝑥米，𝐵𝐶=𝑦米∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐷𝐶=90°，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐸𝐷𝐶∴……任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．21.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，𝐴𝐷=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程𝑥2−7𝑥+12=0­的两个根，且𝑂𝐴𝑂𝐵．(1)求OA、OB的长；(2)若点E为x轴上的点，且𝑆△𝐴𝑂𝐸=163．①直接写出经过D、E两点的直线函数表达式；②求证：△𝐴𝑂𝐸与△𝐴𝑂𝐷相似；(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.C解：过A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于点E．∵𝑆△𝑂𝐴𝐸=𝑆△𝑂𝐶𝐷，∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐵=𝑆△𝐵𝑂𝐷=21，∵𝐴𝐸//𝐵𝐶，∴△𝑂𝐴𝐸∽△𝑂𝐵𝐶，∴𝑆△𝑂𝐴𝐸=4，则𝑘=8．2.B解：∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐺⊥𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐺+∠𝐶𝐵𝐺=90°，∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐶𝐵𝐺=90°，∴∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐵𝐶𝐷，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷中，{∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵=𝐵𝐶∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐶𝐵𝐷=90°，∴△𝐴𝐵𝐺≌和△𝐵𝐶𝐷(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐴𝐺=𝐵𝐷，∵点D是AB的中点，∴𝐵𝐷=12𝐴𝐵，∴𝐴𝐺=12𝐵𝐶，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∵𝐴𝐺⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐺//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐹𝐺∽△𝐶𝐹𝐵，∴𝐴𝐺𝐶𝐵=𝐹𝐺𝐹𝐵，∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，∴𝐴𝐺𝐴𝐵=𝐹𝐺𝐹𝐵，故①正确；∵△𝐴𝐹𝐺∽△𝐶𝐹𝐵，∴𝐺𝐹𝐵𝐹=𝐴𝐺𝐵𝐶=12，∴𝐹𝐺=12𝐹𝐵，∵𝐹𝐸≠𝐵𝐸，∴点F是GE的中点不成立，故②错误；∵△𝐴𝐹𝐺∽△𝐶𝐹𝐵，∴𝐴𝐹𝐶𝐹=𝐴𝐺𝐵𝐶=12，∴𝐴𝐹=13𝐴𝐶，∵𝐴𝐶=√2𝐴𝐵，∴𝐴𝐹=√23𝐴𝐵，故③正确；如图，过点F作𝑀𝐹⊥𝐴𝐵于M，则𝐹𝑀//𝐶𝐵，∴𝐴𝐹𝐴𝐶=𝐹𝑀𝐵𝐶=13，∵𝐵𝐷𝐵𝐴=12，∴𝑆△𝐵𝐷𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×𝐵𝐷×𝐹𝑀12×𝐴𝐵×𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐴𝐵×𝐹𝑀𝐵𝐶=12×13=16，故④错误．综上所述，正确的结论有①③共2个．3.C解：∵矩形ABCD中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐷=4，𝐴𝐸=2，∴𝐵𝐶=4，𝐶𝐷=3，𝐵𝐸=1，∴𝐶𝐸=√42+12=√17，∵𝐻𝐹是CE的垂直平分线，∴𝐶𝐻=12𝐶𝐸=√172，𝐹𝐻⊥𝐶𝐸，∵𝐶𝐹//𝐴𝐵，∴∠𝐹𝐶𝐻=∠𝐶𝐸𝐵，∴𝑅𝑡△𝐹𝐶𝐻∽𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐵，∴𝐹𝐶𝐶𝐸=𝐶𝐻𝐵𝐸，即𝐶𝐹√17=√1721，∴𝐹𝐶=172，∴𝐷𝐹=172−3=112∵𝐷𝐹//𝐴𝐸，∴△𝐹𝐷𝐺∽△𝐸𝐴𝐺，∴𝐷𝐺𝐴𝐺=𝐷𝐹𝐴𝐸=1122=114．4.A解：过F点作𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，则𝑀𝑁⊥𝐴𝐷，设𝐴𝐺=𝑎，∵𝐴𝐺：𝐺𝐸=1：5，GE：𝐵𝐻=1：2，∴𝐸𝐺=5𝑎，𝐵𝐻=10𝑎，𝐴𝐸=6𝑎，∵𝐴𝐸=𝐴𝐵，∴𝐴𝐵=6𝑎，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐸，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐵𝐶，∴𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐸的平分线，∵𝐹𝐴⊥𝐴𝐵，𝐹𝑀⊥𝐵𝐶，∴𝐹𝑀=𝐹𝐴，在𝑅𝑇△𝐴𝐵𝐹与𝑅𝑇△𝑀𝐵𝐹中{𝐹𝐴=𝐹𝑀𝐹𝐵=𝐹𝐵∴𝑅𝑇△𝐴𝐵𝐹≌𝑅𝑇△𝑀𝐵𝐹(𝐻𝐿)，∴𝐵𝑀=𝐴𝐵=6𝑎，∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐵𝐹𝐻，∴△𝐸𝐹𝐺∽△𝐵𝐹𝐻，𝐹𝑁𝐹𝑀=𝐸𝐺𝐵𝐻=12∵𝐹𝐴=𝐹𝑀，∴𝐹𝑁：𝐹𝐴=1：2，∵𝐹𝐴=𝐹𝑀，∴𝐹𝑁：𝐹𝐴=1：2，在𝑅𝑇△𝐴𝐹𝑁中，∠𝐸𝐴𝐹=30°，∵∠𝐹𝐴𝐵=90°，∴∠𝐷𝐴𝐵=120°，∴∠𝐴𝐵𝐶=60°，∴∠𝑀𝐵𝐹=30°，在𝑅𝑇△𝑀𝐵𝐹中，𝐹𝑀=𝑡𝑎𝑛30°⋅𝐵𝑀=√33×6𝑎=2√3𝑎，∵𝐵𝐻=10𝑎，𝐵𝑀=6𝑎，∴𝐻𝑀=𝐵𝐻−𝐵𝑀=4𝑎，∴tan∠𝐺𝐻𝐵=𝐹