2020年高考数学一轮复习 专题10.14 真题再现练习（含解析）

第十四讲真题再现1．（2018•全国）已知椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），则，解得a＝5，b＝1，∴c2＝a2﹣b2＝24，∴c＝2，∴e＝＝，故选：A．2．（2018•全国）过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则•＝（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】DD【解析】y2＝2x的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直x轴的直线是x＝，代入y2＝2x得y＝±1，故•＝（，1）•（）＝﹣1＝﹣．故选：D．3．（2018•天津）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【答案】C【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF＝＝3，EF＝＝b，所以b＝3，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a＝．则双曲线的方程为：﹣＝1．故选：C．4．（2018•天津）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【答案】A【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF＝＝3，EF＝＝b，所以b＝3，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a＝．则双曲线的方程为：﹣＝1．故选：A．5．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4＝4，解得a＝2，∵c＝2，∴e＝＝＝．故选：C．6．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．2【答案】D【解析】双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，即：，解得a＝b，双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．故选：D．7．（2018•新课标Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，∴点F2到渐近线的距离d＝＝b，即|PF2|＝b，∴|OP|＝＝＝a，cos∠PF2O＝，∵|PF1|＝|OP|，∴|PF1|＝a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×＝4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2＝c2，即a＝c，∴e＝＝，故选：C．8．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．9．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1【答案】D【解析】F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e＝．故选：D．10．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【答案】A【解析】∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝＝2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2＝0的距离：d＝＝，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d＝∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]＝[2，6]．故选：A．11．（2018•新课标Ⅱ）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【答案】A【解析】∵双曲线的离心率为e＝＝，则＝＝＝＝＝，即双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选：A．12．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•＝（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•＝（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．13．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解析】双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|＝＝3．故选：B．14．（2017•全国）椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在C上，F2P＝2，，则C的长轴长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），则c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2a﹣2，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2+|PF2|2﹣2|F1F2|•|PF2|•cos，即（2a﹣2）2＝4+4﹣2×2×2×（﹣），解得a＝1+，a＝1﹣（舍去），∴2a＝2+2，故选：D．15．（2017•全国）已知双曲线的右焦点为F（c，0），直线y＝k（x﹣c）与C的右支有两个交点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，由直线y＝k（x﹣c）与C的右支有两个交点，且直线经过右焦点F，可得|k|＞，故选：B．16．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线C：x2﹣＝1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y＝3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨＝1，丨PF丨＝3，∴△APF的面积S＝×丨AP丨×丨PF丨＝，同理当y＜0时，则△APF的面积S＝，故选：D．17．（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：＝，解得：，可得e2＝4，即e＝2．故选：A．18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3【答案】C【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y＝（x﹣1），过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y＝﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：＝2．故选：C．19．（2017•新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|＝•|y1﹣y2|＝×＝8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|+|DE|＝+＝＝，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二．填空题（共3小题）20．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2．【答案】：2．【解析】圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．21．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（【答案】（x﹣1）2+y2＝1．【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得D＝﹣2，E＝F＝0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x＝0．故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（或x2+y2﹣2x＝0）．22．（2018•新课标Ⅲ）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝．【答案】2【解析】∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝1，∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，1），∴＝（x1+1，y1﹣1），＝（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB＝90°，∴•＝0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，∴1+2+﹣4﹣+2＝0，即k2﹣4k+4＝0，∴k＝2．故答案为：223．（2018•全国）双曲线﹣＝1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足＝2，求M的轨迹方程．【答案】见解析【解析】（1）由已知得a2＝12，b2＝