2020年高考数学一轮复习 专题4.7 真题再现练习（含解析）

第七讲高考真题再现1．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴，2．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．an＝2n﹣5B．an＝3n﹣10C．Sn＝2n2﹣8nD．Sn＝n2﹣2n【答案】A【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得，∴，∴an＝2n﹣5，，3．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【答案】B【解析】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．4．（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．5．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】设该数列为{an}，设bn＝+…+＝2n+1﹣1，（n∈N+），则＝ai，由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．6．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{an}的公差为4．7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8【答案】A【解析】∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{an}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．8．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．9．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．97【答案】C【解析】∵等差数列{an}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．10．（2015•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10D．12【答案】B【解析】∵{an}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1+×1＝4×（4a1+），解得a1＝．则a10＝+9×1＝．故选：B．11．（2015•新课标Ⅱ）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．12．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84【答案】B【解析】∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．13．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．14．（2014•新课标Ⅱ）等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【答案】A【解析】由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴Sn＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．15．（2019•新课标Ⅲ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．【答案】100【解析】在等差数列{an}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．则．故答案为：100．16．（2019•新课标Ⅲ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．【答案】4【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，∴＝＝，故答案为：4．17．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．【答案】【解析】∵等比数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，则S4＝＝＝．故答案为：18．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．【答案】【解析】在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，即q＞0，q＝3，则S5＝＝，故答案为：19．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an+1，则S6＝．【答案】-63【解析】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+1，②，由①﹣②可得an＝2an﹣2an﹣1，∴an＝2an﹣1，∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6＝＝﹣63，故答案为：﹣6320．（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝．【答案】【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，S4＝2（a2+a3）＝10，可得a2＝2，数列的首项为1，公差为1，Sn＝，＝，则＝2[1﹣++…+]＝2（1﹣）＝．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a4＝．【答案】-8【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，∴a1（1+q）＝﹣1，a1（1﹣q2）＝﹣3，解得a1＝1，q＝﹣2．则a4＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．22．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为．【答案】64【解析】等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，可得q（a1+a3）＝5，解得q＝．a1+q2a1＝10，解得a1＝8．则a1a2…an＝a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）＝8n•＝＝，当n＝3或4时，表达式取得最大值：＝26＝64．故答案为：64．23．（2015•新课标Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝﹣1，an+1＝Sn+1Sn，则Sn＝．【答案】﹣【解析】∵an+1＝Sn+1Sn，∴Sn+1﹣Sn＝Sn+1Sn，∴﹣＝1，又∵a1＝﹣1，即＝﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴＝﹣n，∴Sn＝﹣，故答案为：﹣．24．（2015•新课标Ⅰ）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝．【答案】6【解析】∵an+1＝2an，∴，∵a1＝2，∴数列{an}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴Sn＝＝＝2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：625．（2014•新课标Ⅱ）数列{an}满足an+1＝，a8＝2，则a1＝．【答案】【解析】由题意得，an+1＝，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1＝故答案为：．26．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只