2020年高考数学一轮复习 专题3.8 三角函数与其他知识综合运用练习（含解析）

第八讲三角函数与其他知识的综合运用考向一解三角形与三角函数综合【例1】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角。(1)证明：B－A＝π2；(2)求sinA＋sinC的取值范围。【答案】见解析【解析】(1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得sinAcosA＝ab＝sinAsinB，所以sinB＝cosA，即sinB＝sinπ2＋A。因为B为钝角，所以A为锐角，所以π2＋A∈π2，π，则B＝π2＋A，即B－A＝π2。(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－2A＋π2＝π2－2A0，所以A∈0，π4。于是sinA＋sinC＝sinA＋sinπ2－2A＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2sinA－142＋98。因为0Aπ4，所以0sinA22，因此22－2sinA－142＋98≤98。由此可知sinA＋sinC的取值范围是22，98。【举一反三】1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【答案】9【解析】因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得12acsin120°＝12asin60°＋12csin60°，化简得ac＝a＋c，又a0，c0，所以1a＋1c＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9。2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且tanAtanB＝2c－bb，则△ABC面积的最大值为________。【答案】334【解析】因为tanAtanB＝2c－bb，所以bsinAcosA＝(2c－b)sinBcosB，由正弦定理得sinBsinAcosB＝(2sinC－sinB)sinBcosA，又sinB≠0，所以sinAcosB＝(2sinC－sinB)cosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，又sinC≠0，所以cosA＝12，sinA＝32。设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦定理得bc＝b2＋c2－a22cosA＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsinA)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤334。3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac。(1)求B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值。【答案】(1)由余弦定理和已知条件可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22，又因为0Bπ，所以B＝π4。(2)由(1)知A＋C＝3π4，所以2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22cosA＋22sinA＝cosA－π4。因为0A3π4，所以，当A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1。考向二三角函数与平面向量【例2】在△𝐴𝐴𝐴中，内角𝐴，𝐴，C的对边分别为𝐴，𝐴，𝐴，(8−𝐴)cos𝐴=𝐴cos𝐴，𝐴=3，𝐴=4，平面内有一点𝐴满足AD⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则线段𝐴𝐴=________.【答案】7【解析】c=3代入(8−𝐴)cos𝐴=𝐴cos𝐴得5×𝐴2+𝐴2−𝐴22𝐴𝐴=𝐴×𝐴2+𝐴2−𝐴22𝐴𝐴得𝐴2−4𝐴2+4𝐴2=0,又c=3,a=4∴b=√13,则cosA=9+13−162√13×3=9+(2√13)2−𝐴𝐴22×3×2√13解得BD=7故答案为7【举一反三】1.已知△𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴=6，𝐴𝐴=3，边𝐴𝐴上一点𝐴满足𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，𝐴0.(I)证明：𝐴𝐴为△𝐴𝐴𝐴的内角平分线；(Ⅱ)若𝐴𝐴=3，求cos𝐴.【答案】(Ⅰ)见解析.（Ⅱ）cos𝐴=18.【解析】（I）因为cos∠𝐴𝐴𝐴−cos∠𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=𝐴(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑||𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−𝐴(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑||𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=𝐴𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑6|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−𝐴𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑23|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=𝐴6|𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−4𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=0所以cos∠𝐴𝐴𝐴=cos∠𝐴𝐴𝐴，又因为0∠𝐴𝐴𝐴90°，0∠𝐴𝐴𝐴90°，所以∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴，所以𝐴𝐴为△𝐴𝐴𝐴的内角平分线.（方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（Ⅱ）△𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴sin𝐴2=𝐴𝐴sin∠𝐴𝐴𝐴，△𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴sin𝐴2=𝐴𝐴sin∠𝐴𝐴𝐴，∵sin∠𝐴𝐴𝐴=sin∠𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴=6，𝐴𝐴=3，∴𝐴𝐴=2𝐴𝐴，△𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴2=9+9−18cos𝐴2，△𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴2=36+9−36cos𝐴2，∴cos𝐴2=34，cos𝐴=2cos2𝐴2−1=18.考向三三角函数与圆锥曲线【例3】在直角坐标平面内，已知𝐴(−2,0)，𝐴(2,0)以及动点𝐴是𝐴𝐴𝐴𝐴的三个顶点，且sin𝐴sin𝐴−2cos𝐴=0，则动点𝐴的轨迹曲线𝐴的离心率是（）A．√22B．√32C．√2D．√3【答案】A【解析】∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴𝐴𝐴𝐴⋅𝐴𝐴𝐴=−2，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有𝐴𝐴+2⋅𝐴𝐴−2=−2，(𝐴≠0)，整理得𝐴24+𝐴28=1(𝐴≠0)，∴a=2√2，c=2，离心率是𝐴𝐴=√22故选A．【举一反三】1．已知椭圆𝐴2𝐴2+𝐴2𝐴2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得△𝐴𝐴1𝐴2中，sin∠𝐴𝐴1𝐴2𝐴=sin∠𝐴𝐴2𝐴1𝐴，则该椭圆离心率的取值范围为()A．(0，√2－1)B．(√22,1)C．(0,√22)D．(√2－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：|𝐴𝐴1|sin∠𝐴𝐴2𝐴1=|𝐴𝐴2|sin∠𝐴𝐴1𝐴2,结合题意可得|𝐴𝐴1|𝐴=|𝐴𝐴2|𝐴，所以|𝐴𝐴1|𝐴=|𝐴𝐴2|𝐴=|𝐴𝐴1|+|𝐴𝐴2|𝐴+𝐴，根据椭圆的定义可得|𝐴𝐴1|+|𝐴𝐴2|=2𝐴，所以|𝐴𝐴1|=2𝐴𝐴𝐴+𝐴，|𝐴𝐴2|=2𝐴2𝐴+𝐴，易知|𝐴𝐴2||𝐴𝐴1|.因为𝐴为椭圆上一点，所以𝐴−𝐴|𝐴𝐴2|𝐴+𝐴，即𝐴−𝐴2𝐴2𝐴+𝐴𝐴+𝐴，整理得𝐴2+2𝐴𝐴−𝐴20，所以𝐴2+2𝐴−10，解得√2−1𝐴1.故选D.2．已知圆𝐴：𝐴2+(𝐴−1)2=𝐴2与函数𝐴=2sin𝐴的图像有唯一交点，且交点的横坐标为𝐴，则4cos2𝐴2−𝐴−2sin2𝐴=（）A．−2B．−3C．2D．3【答案】C【解析】因为圆𝐴：𝐴2+(𝐴−1)2=𝐴2与函数𝐴=2sin𝐴的图像有唯一交点，所以圆𝐴在该交点处的切线与函数𝐴=2sin𝐴在交点处的切线重合，因为交点的横坐标为𝐴，所以交点坐标为(𝐴，2sin𝐴)，由𝐴=2sin𝐴得𝐴′=2cos𝐴，所以𝐴′|𝐴=𝐴=2cos𝐴，所以2sin𝐴−1𝐴−0=−12cos𝐴，整理得𝐴=(1−2𝐴𝐴𝐴𝐴)∙2𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴−4𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴，因此，4cos2𝐴2−𝐴−2sin2𝐴=4cos2𝐴2−2𝐴𝐴𝐴𝐴+4𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−2sin2𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴−2𝐴𝐴𝐴𝐴+4𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴sin2𝐴=2𝐴𝐴𝐴2𝐴sin2𝐴=2.故选C考向四三角函数与不等式【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝐴𝐴𝐴2𝐴+2𝐴𝐴𝐴2𝐴=3𝐴𝐴𝐴2𝐴，𝐴=3𝐴𝐴𝐴𝐴.（1）求△ABC外接圆的面积；（2）求边c的最大值.【答案】（1）94𝐴（2）√7【解析】（1）设△ABC外接圆的半径为R，由𝐴=3𝐴𝐴𝐴𝐴，利用正弦定理可得2𝐴=𝐴sin𝐴=3，解得𝐴=32，外接圆的面积为𝐴=𝐴𝐴2=94𝐴；（2）由𝐴2+2𝐴2=3𝐴2及余弦定理，得𝐴2+2𝐴2=3（𝐴2+𝐴2−2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴），整理得6𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴2+𝐴2，即cos𝐴=𝐴3𝐴+𝐴6𝐴≥2√𝐴3𝐴⋅𝐴6𝐴=√23，则𝐴𝐴𝐴𝐴=√1−𝐴𝐴𝐴2𝐴≤√1−（√23）2=√73，当且仅当𝐴=√2𝐴时取等号，由正弦定理得𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=3𝐴𝐴𝐴𝐴≤√7，所以边长𝐴的最大值为√7.考向五三角函数与函数【例5】已知函数sinfxAx，0,0,2A的部分图象如图所示，则使0faxfax成立的a的最小正值为（）A．12B．6C．4D．3【答案】B【解析】有图像易知，2A，(0)1f，即2sin1，且2，即π6因为有图可知，11()0,12f所以1111sin()0,126126kkZ即122,11kkZ又因为有图可知，周期1121124121211T，且0所以当2,2k所以函数()2sin(2)6fxx因为0faxfax，函数()fx关于xa对称，即2,62akkZ可得,26kakZ所以a的最小正值为6故选B【举一反三】1.函数=sin3fxx在区间0,2上至少存在5个不同的零点，则正整数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】函数f（x）＝sin（ωx3）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，,2333x