2020年高考数学一轮复习 专题3.7 正余弦定理练习（含解析）

第七讲正余弦定理一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角【套路秘籍】---千里之行始于足下图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解三.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．四．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比考向一正余弦公式选择【例1】（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝.（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝23，C＝30°，则B＝.（3）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝.【答案】（1）4（2）60°或120°（3）1【解析】（1）∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．（2）∵c＝2，b＝23，C＝30°，∴由正弦定理可得sinB＝bsinCc＝23×122＝32，由bc，可得30°B180°，∴B＝60°或B＝120°.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始（3）因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即332＝b12，解得b＝1.【举一反三】1.已知△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于()A.2B.1C.3D.2【答案】D【解析】由正弦定理asinA＝bsinB，得1sinπ6＝bsinπ4，∴112＝b22，∴b＝2.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.【答案】2173【解析】由asinA＝bsinB，得sinB＝basinA＝217，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).考向二正余弦定理的运用【例2】（1）在△ABC中，2acosA＋bcosC＋ccosB＝0，则角A的大小为________．（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为．【答案】（1）120°（2）9π【解析】（1）由余弦定理得2acosA＋b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝0，即2acosA＋a＝0，所以cosA＝－12，A＝120°.（2）因为bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理得b·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋c2－b22ac＝2，解得c＝2(c＝0舍去)．由cosC＝223，得sinC＝13，再由正弦定理可得2R＝csinC＝6(R为△ABC外接圆半径)，所以R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.【举一反三】1．在𝛥𝛥𝛥𝛥中，角𝛥，𝛥，𝛥的对边分别为𝛥，𝛥，𝛥，已知𝛥sin(𝛥+𝛥3)=𝛥sin𝛥，则角𝛥等于（）A．𝛥6B．𝛥3C．2𝛥3D．5𝛥6【答案】B【解析】由正弦定理得，sin𝛥sin(𝛥+𝛥3)=sin𝛥sin𝛥∵sin𝛥≠0，∴sin(𝛥+𝛥3)=sin𝛥，即sin𝛥=√3cos𝛥，∴tan𝛥=√3∵0𝛥𝛥，∴𝛥=𝛥3.选B.【套路总结】正余弦定理运用：边角互换1.边的一次方或角的正弦---正弦定理2.边的二次方或角的余弦---余弦定理2．在𝛥𝛥𝛥𝛥中，内角𝛥,𝛥,𝛥的对边分别为𝛥,𝛥,𝛥，若𝛥sin𝛥cos𝛥+𝛥sin𝛥cos𝛥=0.5𝛥，𝛥𝛥，则𝛥=（）A．30∘B．60∘C．120∘D．150∘【答案】A【解析】在𝛥𝛥𝛥𝛥中，∵𝛥sin𝛥cos𝛥+𝛥sin𝛥cos𝛥=12𝛥，∴由正弦定理得：sin𝛥sin𝛥cos𝛥+sin𝛥sin𝛥cos𝛥=12sin𝛥，sin𝛥≠0，∴sin𝛥cos𝛥+sin𝛥cos𝛥=12，∴sin(𝛥+𝛥)=12，又𝛥+𝛥+𝛥=𝛥，∴sin(𝛥+𝛥)=sin(𝛥−𝛥)=sin𝛥=12，又𝛥𝛥，∴𝛥=30∘．故选：𝛥．3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为____．【答案】30°【解析】由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b2－c2＝a2－3ac，所以a2＋c2－b2＝3ac，又因为cosB＝a2＋c2－b22ac，所以cosB＝32，所以B＝30°.考向三三角形的面积【例3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋2c＝2bcosA.(1)求角B的大小；(2)若b＝23，a＋c＝4，求△ABC的面积．【答案】（1）2π3（2）3【解析】(1)因为a＋2c＝2bcosA，由正弦定理，得sinA＋2sinC＝2sinBcosA.因为C＝π－(A＋B)，所以sinA＋2sin(A＋B)＝2sinBcosA.即sinA＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝2sinBcosA，所以sinA(1＋2cosB)＝0.因为sinA≠0，所以cosB＝－12.又因为0＜B＜π，所以B＝2π3.(2)由余弦定理a2＋c2－2accosB＝b2及b＝23，得a2＋c2＋ac＝12，即(a＋c)2－ac＝12.又因为a＋c＝4，所以ac＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝12×4×32＝3.【举一反三】1.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝23，c＝3，C＝2π3，则△ABC的面积为________．【答案】334【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab，即9＝12－ab，故ab＝3，则S△ABC＝12absinC＝334.2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝2，则△ABC面积的最大值是________．【答案】2＋1【解析】由b＝acosC＋csinA及正弦定理可得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，所以sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCsinA，化简可得sinA＝cosA，所以A＝π4.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋c24－2b·c2·cos【套路总结】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．A≥bc－22bc，当且仅当b＝c2时取“＝”，所以bc≤4＋22，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝24bc≤2＋1，所以△ABC面积的最大值是2＋1.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.(1)求C的大小；(2)若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．【答案】（1）2π3（2）27【解析】(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及bcosA＋acosB＝－2ccosC，得sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC，所以sin(B＋A)＝－2sinCcosC，所以sinC＝－2sinCcosC.因为C∈(0，π)，所以sinC＞0，所以cosC＝－12，所以C＝2π3.(2)因为△ABC的面积为23，所以12absinC＝23，所以ab＝8.又b＝2a，所以a＝2，b＝4，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×－12＝28，所以c＝27.考向四判断三角形的形状【例4】在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2B2＝c－a2c，则△ABC的形状一定是________．【答案】直角三角形【解析】由题意，得1－cosB2＝c－a2c，即cosB＝ac，又由余弦定理，得ac＝a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．【举一反三】1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2acosB，则△ABC的形状为______________．【答案】等腰三角形【解析】∵c＝2acosB，∴由正弦定理，得sinC＝sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB＝cosAsinB，可得tanA＝tanB，又0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故△ABC的形状为等腰三角形．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________．【答案】等边三角形【解析】因为sinAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．考向五三角形个数判断【例5】在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有个．【答案】2【套路总结】判断三角形形状的两种思路1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响【解析】∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个．【举一反三】1.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．【答案】两解【解析】因为asinA＝bsinB，所以sinB＝basinA＝2418sin45°＝223.又因为a＜b，所以B有两个解，即此三角形有两解．考向六求解几何计算问题【例6】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值