2020届高考数学一轮复习 综合检测三（标准卷）文（含解析） 新人教A版

综合检测三(标准卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A＝{2,3，a}，B＝{3，a2}，若A∩B＝{3，a}，则a的值为()A．0B．1C．±1D．0或1答案D解析(特值法)通过观察题干和选项，取a＝0，则A＝{2,3,0}，B＝{3,0}，A∩B＝{3,0}，排除B，C；取a＝1，则A＝{2,3,1}，B＝{3,1}，A∩B＝{3,1}，排除A.故选D.2．已知复数z＝a＋i1－i(其中i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数a等于()A．－1B．0C．1D.2答案C解析若复数z＝a＋i1＋i2＝a－12＋a＋12i为纯虚数，则a－12＝0，且a＋12≠0，即a＝1，故选C.3．下列说法中正确的是()A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x20－x0－10，则綈p：∀x∈R，x2－x－10C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若α＝π6，则sinα＝12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”答案D解析若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)＝x2，所以A错误；若p：∃x0∈R，x20－x0－10，则綈p：∀x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q是假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，所以D正确．4．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则cos2α等于()A．1B．－1C.12D．0答案D解析∵sinπ6－α＝cosπ6＋α，∴12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα，即12－32sinα＝－12－32cosα，∴tanα＝sinαcosα＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝0.5．下列四个图中，函数y＝ln|x＋1|x＋1的图象可能是()答案C解析∵y＝ln|x|x是奇函数，其图象向左平移1个单位所得图象对应的函数解析式为y＝ln|x＋1|x＋1，∴y＝ln|x＋1|x＋1的图象关于(－1,0)中心对称，故排除A，D，当x＜－2时，y＜0恒成立，排除B.6．已知非零向量a，b，则使得|a－b|＝|a|＋|b|成立的一个充分不必要条件是()A．a∥bB．a＋2b＝0C.a|a|＝b|b|D．a＝b答案B解析|a－b|＝|a|＋|b|成立，其充要条件是向量a，b共线且方向相反．当a＋2b＝0时，a＝－2b，|a－b|＝|a|＋|b|成立；反之，不成立．7．实数x，y满足y≤2x＋2，x＋y－2≥0，x≤2则z＝|x－y|的最大值是()A．2B．4C．6D．8答案B解析由题意画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令m＝y－x，则m为直线l：y＝x＋m在y轴上的截距，由图知在点A(2,6)处m取最大值4，在C(2,0)处取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z∈[0,4]，即z的最大值是4，故选B.8．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则a1＋a22b1b2的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，0]C．[4，＋∞)D．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案D解析在等差数列中，a1＋a2＝x＋y；在等比数列中，xy＝b1b2.∴a1＋a22b1b2＝x＋y2xy＝x2＋2xy＋y2xy＝xy＋yx＋2.当xy0时，xy＋yx≥2，故a1＋a22b1b2≥4；当xy0时，xy＋yx≤－2，故a1＋a22b1b2≤0.故选D.9．已知0ab1，则ab，logba，1logab的大小关系是()A．1logabablogbaB．1logablogbaabC．logba1logababD．ab1logablogba答案A解析因为0ab1，所以0aba0＝1，logbalogbb＝1，又1a1，所以1logab1log1a＝0.综上得1logabablogba.10．经过统计，某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.9，a＝2，|e|≤1，e为随机误差，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过()A．10亿元B．11亿元C．11.5亿元D．12亿元答案D解析线性回归方程为y^＝0.9x＋2，由此得财政支出的估计值为11亿元，又随机误差的范围为[－1,1]，随机误差的最大值为1，故财政支出不会超过11＋1＝12(亿元)．11．(2018·合肥第一中学模拟)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a等于()A.14＋223B.8＋223C.12＋223D．8＋22答案A解析根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a＋2a)·a·a＝32a3，其表面积为12·(2a＋a)·a·2＋a2＋a2＋2a·a＋2a·a＝7a2＋2a2，所以7a2＋2a2＝32a3，解得a＝14＋223，故选A.12．已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(OM→＋OF2→)·F2M→＝0(其中O为坐标原点)，且|MF1→|＝3|MF2→|，则双曲线的离心率为()A.5－1B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案D解析∵F2M→＝OM→－OF2→，∴(OM→＋OF2→)·F2M→＝(OM→＋OF2→)·(OM→－OF2→)＝0，即OM→2－OF→22＝0，∴|OF2→|＝|OM→|＝c，在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得MF1→⊥MF2→.∵|MF1→|＝3|MF2→|，∴可设|MF1→|＝3λ，|MF2→|＝λ(λ0)，得(3λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，∴|MF1→|＝3c，|MF2→|＝c，∴根据双曲线定义得2a＝|MF1→|－|MF2→|＝(3－1)c，∴双曲线的离心率e＝2c2a＝3＋1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB90°的概率为________．答案π8解析如图，以AB为直径作圆，则圆在正方形ABCD内的区域为半圆，其面积S＝12×π×12＝π2，满足条件∠AMB90°的点M在半圆内，故所求概率P＝S阴影S正方形ABCD＝π222＝π8.14.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的S＝________.答案i7？(i≤6？)a1＋a2＋…＋a6解析由题意知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知判断框应填i7？或i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的S＝a1＋a2＋…＋a6.15．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．答案55%解析后两个小组的频率为(0.0375＋0.0875)×2＝0.25，所以前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，又前3个小组的面积比为1∶2∶3，即前3个小组的频率比为1∶2∶3，所以第三小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，第四小组的频率为0.0875×2＝0.175，所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55＝55%.16．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝kx＋1，x0，x2＋1，x≥0有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是__________．答案(2＋22，＋∞)解析设点(m，n)(m0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故n＝m2＋1，－n＝k－m＋1，消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程组有两个不等的正实数根，得Δ＝k2－4k＋10，k0，k＋10，解得k2＋22.故实数k的取值范围是(2＋22，＋∞)．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知数列{}an中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足an＝2S2n2Sn－1(n≥2，n∈N*)．(1)证明：数列1Sn是等差数列；(2)证明：13S1＋15S2＋17S3＋…＋12n＋1Sn＜12.证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，∴1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1Sn＝1S1＋(n－1)·2＝2n－1，∴Sn＝12n－1(n∈N*)．13S1＋15S2＋17S3＋…＋12n＋1Sn＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n－12n＋1＝121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＜12.18．(12分)如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝23，AC＝BC，F是AB上一点，且AF＝13AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上，如图2.(1)求证：AD⊥平面BCE；(2)求证：AD∥平面CEF.证明(1)由题意知，AD⊥BD.∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD.∵BD∩CE＝E，BD，CE⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE.(2)在Rt△ABD中，AB＝23，AD＝3，∴BD＝3.如图，连接AE.在Rt△ACE和Rt△BCE中，AC＝BC，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△BCE(HL)，∴AE＝BE.设DE＝x，则AE＝BE＝3－x.在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，∴3＋x2＝(3－x)2，解得x＝1，∴BE＝2.∴BFBA＝BEBD＝23，∴AD∥EF，∵AD⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴AD∥平面CEF.19．(12分)甲、乙两个班级共有105名学生，某次数学考试按照“大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀”的原则统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知从甲、乙两个班级中随机抽取1名学生，其成绩为优秀的概率为27.(1)请完成上面的2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为成绩与班级有关系？(3)按下面的方法从甲班成绩优秀的学生中抽取1名学生：把甲班成绩优秀的10名学生从2至11进行编号，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的编号，求抽到6号或10号的概率．附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋