2020届高考数学一轮复习 单元检测十二 概率、随机变量及其分布（提升卷）单元检测 理（含解析） 新

单元检测十二概率、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案C解析由题意知X，Y应满足Y＝2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为336＝112.2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.132B.164C.332D.364答案D解析从中有放回地取2次，所取号码的情况共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3种．由古典概型概率公式可得所求概率为P＝364.3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8答案B解析根据几何概型得，取到的点到O的距离大于1的概率P＝dD＝圆外部分的面积矩形的面积＝2－π22×1＝1－π4.4．欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为()A.14πB.14C.116πD.116答案A解析由题意得，所求的概率为12π×22＝14π，故选A.5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为()A.25B.310C.15D.110答案C解析一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：P＝110＋910×19＝15.6.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率为()A.12B.14C.18D.116答案C解析设∠AOC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，则其所构成的区域为A＝{(x，y)|x＋y45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即图中的阴影部分，故S阴影＝12×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝12×45×4590×90＝18.7．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是()A.14B.16C.15D.320答案B解析因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是318＝16.故选B.8．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2答案C解析由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.∴P(ξ＞120)＝12P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.则他速度超过120的概率为0.15.9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8答案D解析设“某一天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝PABPA＝0.60.75＝0.8.10．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)等于()X02aP16p13A.2B．3C．4D．5答案C解析p＝1－16－13＝12，E(X)＝0×16＋2×12＋a×13＝2，则a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.11．(2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为()A.13B.25C.23D.45答案B解析由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827，∴所求概率为827÷2027＝25.12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}an满足：an＝－1，第n次摸到红球，1，第n次摸到白球，如果Sn为数列{}an的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．C57232·235B．C27232·135C．C57132·135D．C57132·235答案B解析据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．答案两次都未中靶14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2，…，6)答案29解析由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，由古典概型概率公式可得所求概率为836＝29.15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ckk＋1，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5ξ2.5)＝________.答案89解析随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ckk＋1，k＝1,2,3，∴c2＋c6＋c12＝1，即6c＋2c＋c12＝1，解得c＝43，∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝c2＋c6＝46×43＝89.16．某篮球运动员投中篮球的概率为23，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示)答案727解析“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是C23·132·23＋C33·133＝727.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．解(1)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“丙投篮1次投进”为事件C，“至少一人投进”为事件D.P(D)＝1－P(A)P(B)P(C)＝45.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B4，25，所以，P(ξ＝k)＝Ck425k354－k(k＝0,1,2,3,4)，故随机变量ξ的分布列为ξ01234P816252166252166259662516625E(ξ)＝0×81625＋1×216625＋2×216625＋3×96625＋4×16625＝85，D(ξ)＝2425.18．(12分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x的值及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10的同学中，各随机选取1名，求这2名同学的投篮命中次数之和为16的概率．解(1)依题意得x＋8×2＋9＋105＝7＋8＋9＋11×25－1，解得x＝6，x乙＝415，s2＝15415－62＋415－82×2＋415－92＋415－102＝1.76.(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9,8,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6,8,8,9.依题意，不同的选取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12种．设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3种．∴P(C)＝312＝14.19．(13分)(2018·武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在[0,30)，第二类的时间区间在[30,60)，第三类的时间区间在[60,720](单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对该校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.(1)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；(2)利用分层抽样的方法从1000名选出10名学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的均值E(X)与方差D(X)．解(1)平均数为5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小时)．(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C18C12C210＝1645.(3)由题可知，这1000名学生中第一类学生占80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个