2020届高考数学一轮复习 单元检测九 解析几何（提升卷）单元检测 文（含解析） 新人教A版

单元检测九解析几何(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l经过点(3，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是()A．30°B．60°C．150°D．120°答案D解析由斜率公式k＝y2－y1x2－x1＝1－－20－3＝－3，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－3，故选D.2．直线kx－y－3k＋3＝0过定点()A．(3,0)B．(3,3)C．(1,3)D．(0,3)答案B解析kx－y－3k＋3＝0可化为y－3＝k(x－3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()A．1B.2C．2D．3答案D解析当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝a＋3a－1，令t＝a＋3＋a＋3a－1，因为a1，所以t5，且a2＋(3－t)a＋t＝0，则Δ＝(3－t)2－4t≥0，解得t≥9或t≤1(舍去)，所以t的最小值为9，把t＝9代入上述方程解得a＝3.4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A.7B．22C．1D．3答案A解析圆的圆心为(3,0)，r＝1，圆心到直线x－y＋1＝0的距离为d＝|3＋1|2＝22，所以由勾股定理可知切线长的最小值为222－12＝7.5．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是()A．4B．5C．32－1D．26答案A解析依题意可得，点A关于x轴的对称点A1(－1，－1)，圆心C(2,3)，A1C的距离为2＋12＋3＋12＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.6．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为原点，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6答案C解析由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|得|OA→＋OB→|2＝|OA→－OB→|2，化简得OA→·OB→＝0，即OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2＝2，a＝±2.7．点P(2，－1)为圆(x－3)2＋y2＝25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0答案B解析点P(2，－1)为圆(x－3)2＋y2＝25的弦的中点，设圆心为C(3,0)，则该弦所在直线与PC垂直，故弦的斜率为k＝－1kPC＝－3－20－－1＝－1，则由直线的点斜式可得弦所在直线的方程为y－(－1)＝－1×(x－2)，即x＋y－1＝0.8．已知直线y＝ax与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1交于A，B两点，且∠ACB＝60°，则圆的面积为()A．6πB．36πC．7πD．49π答案A解析由题意可得圆心C(a,1)，半径R＝a2－1(a≠±1)，∵直线y＝ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线ax－y＝0的距离为Rsin60°＝32×a2－1，即d＝|a2－1|a2＋1＝3a2－12，解得a2＝7，∴圆C的面积为πR2＝π(7－1)＝6π.故选A.9．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为()A．3B.253或3C.5D.5153或15答案B解析当m＞5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m－5，e2＝c2a2＝25，解得m＝253；当0＜m＜5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝c2a2＝25，解得m＝3.故选B.10．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1答案B解析由已知条件得直线l的斜率为k＝kFN＝1，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30得，y1－y2x1－x2＝4b25a2，从而4b25a2＝1，即4b2＝5a2，又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.11．已知直线l：kx－y－2k＋1＝0与椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A，B两点，与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于C，D两点．若存在k∈[－2，－1]，使得AC→＝DB→，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.0，12B.12，1C.0，22D.22，1答案C解析直线l过圆C2的圆心，∵AC→＝DB→，∴|AC2→|＝|C2B→|，∴C2的圆心为A，B两点的中点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得，x1＋x2x1－x2a2＝－y1＋y2y1－y2b2，化简可得－2·b2a2＝k，又∵ab，∴b2a2＝－k2∈12，1，所以e＝1－b2a2∈0，22.12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1与e2满足的关系是()A.1e1＋1e2＝2B.1e1－1e2＝2C．e1＋e2＝2D．e2－e1＝2答案B解析由椭圆与双曲线的定义得e1＝2c10＋2c，e2＝2c10－2c，所以1e1－1e2＝4c2c＝2，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.答案2解析设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.14．在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线l：kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．答案－43解析方法一圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则符合题意的k的取值范围就是圆C′与l有公共点时k的取值范围，∴|2k－2＋3|k2＋1≤1，∴－43≤k≤0，即k的最小值为－43.方法二∵M在圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上，∴可设M(2＋cosθ，2＋sinθ)，可得N(2＋cosθ，－2－sinθ)，将N的坐标代入kx＋y＋3＝0，可得sinθ－kcosθ＝2k＋1，|2k＋1|≤k2＋1，化简得3k2＋4k≤0，解得－43≤k≤0，∴k的最小值为－43.15．(2018·河南新乡高三模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，O为坐标原点，点M4，－p2，N－1，－p2，射线MO，NO分别交抛物线C于异于点O的点A，B，若A，B，F三点共线，则p的值为________．答案2解析直线OM的方程为y＝－p8x，将其代入x2＝2py，解方程可得x＝－p24，y＝p332，故A－p24，p332.直线ON的方程为y＝p2x，将其代入x2＝2py，解方程可得x＝p2，y＝p32，故Bp2，p32.又F0，p2，所以kAB＝3p8，kBF＝p2－12p，因为A，B，F三点共线，所以kAB＝kBF，即3p8＝p2－12p，解得p＝2.16．已知A，B分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，两不同点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当2ba＋ab＋12mn＋ln|m|＋ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为________．答案22解析设点P(x0，y0)，则x20a2＋y20b2＝1，所以mn＝b2a2，从而2ba＋ab＋12mn＋ln|m|＋ln|n|＝2ba＋ab＋a22b2＋lnb2a2，设b2a2＝x，令f(x)＝12x＋lnx(0x1)，则f′(x)＝2x－12x2，f(x)min＝f12，即b2a2＝12.因为2ba＋ab≥22，当且仅当2ba＝ab，即b2a2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e2＝1－b2a2＝12，所以e＝22.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解(1)由y＝x＋b，x2＝4y得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.18．(12分)(2019·湖北随州第二高级中学月考)已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：AM→·AN→为定值．(1)解由题意过点A(0,1)且斜率为k的直线的方程为y＝kx＋1，代入圆C的方程得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，因为直线与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，所以Δ＝[－4(1＋k)]2－4×7×(1＋k2)0，解得4－73k4＋73，所以实数k的取值范围是4－73，4＋73.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，AM→＝(x1，y1－1)，AN→＝(x2，y2－1)，由(1)得，x1＋x2＝41＋k1＋k2，x1x2＝71＋k2，所以y1＋y2＝(kx1＋1)＋(kx2＋1)＝k(x1＋x2)＋2.y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.所以AM→·AN→＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)·71＋k2＝7，所以AM→·AN→为定值．19．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，且过点1，32，过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(ma)于点M，已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.(1)求椭圆C的方程；(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．解(1)因为椭圆C的离心率为32，所以a2＝4b2.又因为椭圆C过点1，32，所以1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)方法一设P(x0，y0)，－2x02，x0≠1，则x204＋y20＝1.因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点为N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m.由A(－2,0)，P(x0，y0)，可